Blog

Lớp 12

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Hàm Tốc Độ Lớp 12 - Hướng Dẫn Đầy Đủ từ Cơ Bản đến Nâng Cao

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm tốc độ và tầm quan trọng

Bài toán về "hàm tốc độ" là dạng toán trọng tâm trong chương Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng của Toán 12. Thông qua các bài toán này, học sinh hiểu sâu hơn mối liên hệ giữa các đại lượng vận động như quãng đường, vận tốc, gia tốc..., đồng thời luyện tập thành thạo kỹ năng vận dụng nguyên hàm, tích phân vào giải bài toán thực tiễn. Việc thành thạo cách giải bài toán hàm tốc độ không chỉ giúp làm tốt các bài kiểm tra, kỳ thi THPT Quốc gia, mà còn là nền tảng cho các chuyên đề toán ứng dụng cao hơn.

2. Đặc điểm nhận diện bài toán hàm tốc độ

  • Cho biết vận tốcv(t)v(t)hoặc hàm số chuyển độngs(t)s(t), yêu cầu tìm quãng đường, vị trí, vận tốc tại một thời điểm hoặc những đại lượng liên quan đến chuyển động.
  • Dạng tiêu biểu: Tìm quãng đường vật đi được trong một khoảng thời gian, tìm vị trí tại thời điểmtt, tìm vận tốc lớn nhất/nhỏ nhất,...
  • Đề bài nhấn mạnh đến các khái niệm vật lý ứng dụng như: vật chuyển động thẳng, vận tốc tức thời, tổng quãng đường, chuyển động đổi chiều,...

    • 3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm tốc độ

  • Bước 1: Phân tích đề bài - xác định dạng yêu cầu (quãng đường, vận tốc, vị trí...)
  • Bước 2: Mô hình hóa đại lượng vật lý bằng các biểu thức toán học (quan hệ giữas(t)s(t),v(t)v(t),a(t)a(t))
  • Bước 3: Áp dụng nguyên hàm – tích phân và các công thức liên quan
  • Bước 4: Xử lí đặc biệt đối với các tình huống đổi chiều chuyển động
  • Bước 5: Kết luận, trình bày đáp số và kiểm tra điều kiện bài toán

    • 4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh hoạ

    Ví dụ 1: Tìm quãng đường trong một khoảng thời gian

    Đề: Một vật chuyển động trên trục Ox có vận tốcv(t)=2t−6v(t) = 2t - 6(m/s),,ttıˊnhba˘ˋnggia^y.Tıˊnhqua~ngđườngvậtđiđượctừtính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từt=0đe^ˊnđếnt=5$.

  • Bước 1: Xác định thời điểm vật đổi chiều: giảiv(t)=0v(t) = 0⇨2t−6=02t-6=0⇨t=3t=3.
  • Bước 2: Tìm quãng đường trên từng quãng không đổi chiều
  • + Từ t=0t=0 đếnt=3t=3: Vận tốc âm, vật chuyển động lùi. Quãng đường:
    S1=∣(t2−6t1)∣03∣=∣(9−18)−(0−0)∣=∣−9∣=9S_1 = \bigg| \boxed{\bigg( \frac{t^2 -6t}{1} \bigg) \bigg|_{0}^{3}} \bigg| = | (9-18) - (0-0) | = |-9| = 9 \\
  • + Từ t=3t=3 đếnt=5t=5: Vận tốc dương, vật chuyển động tiến. Quãng đường:S2=∣(t2−6t1)∣35∣=∣(25−30)−(9−18)∣=∣(−5)−(−9)∣=4S_2 = \bigg| \bigg( \frac{t^2 -6t}{1} \bigg)\bigg|_{3}^{5} \bigg| = | (25-30) - (9-18) | = |(-5) - (-9)| = 4
  • Bước 3: Tổng quãng đường:S=S1+S2=9+4=13S = S_1 + S_2 = 9 + 4 = 13(m)

    • Ví dụ 2: Tính vị trí tại một thời điểm

    Biếtv(t)=2t−6v(t) = 2t - 6, tạit=0t=0vật ở vị trí s0=10s_0 = 10m. Tìm vị trí vật tạit=4t=4.

  • Tìm hàm vị trí:s(t)=t21−6t+Cs(t) = \boxed{\frac{t^2}{1} - 6t + C}
  • Thayt=0t=0,s(0)=10s(0)=10⇒C=10C=10.
  • Tạit=4t=4:s(4)=16−24+10=2s(4) = 16 - 24 + 10 = 2(m)

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • - Mối liên hệ:v(t)=s′(t)v(t) = s'(t);a(t)=v′(t)a(t) = v'(t)
  • - Quãng đường đi (có thể đổi chiều):
    S=∣(s(t2)−s(t1))∣S = \bigg| \boxed{\bigg ( s(t_2) - s(t_1) \bigg )} \bigg|(Khi không đổi chiều trong[t1;t2][t_1;t_2])
    Khi đổi chiều: tổng các đoạn không đổi dấu vận tốc.
  • - Tính quãng đường khi vận tốc đổi dấu:
    S=∣(extstyle\bigintt1t2∣v(t)∣dt)∣S = \boxed{\bigg| \bigg ( extstyle\bigint_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt \bigg ) \bigg|}
  • - Biến đổi nguyên hàm, tích phân cơ bản:
    extstyle\bigintv(t)dt=s(t)+Cextstyle\bigint v(t) dt = s(t) + C
    extstyle\bigintabv(t)dt=s(b)−s(a)extstyle\bigint_{a}^{b} v(t) dt = s(b) - s(a)

    • 6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • a) Yêu cầu tìm tổng quãng đường khi vật đổi chiều nhiều lần: Chia khoảng thời gian thành các đoạn không đổi dấu vận tốc, tính tổng từng đoạn.
  • b) Chov(t)v(t)dạng hàm phức hợp (hàm lượng giác, hàm mũ): Xét điều kiện đổi dấuv(t)v(t), sử dụng tính chất nguyên hàm/tích phân phù hợp.
  • c) Yêu cầu ngược: Chos(t)s(t), tínhv(t)v(t),a(t)a(t): Sử dụng đạo hàm, đạo hàm cấp hai.
  • d) Tìm điều kiện để vận tốc đạt cực trị (lớn nhất nhỏ nhất): Sử dụng đạo hàm giải phương trìnhv′(t)=0v'(t) = 0rồi so sánh giá trị biên.

    • 7. Bài tập mẫu kèm lời giải chi tiết từng bước

    Bài tập: Vật chuyển động có vận tốcv(t)=t2−4v(t) = t^2 - 4,tttính bằng giây (0≤t≤50 \leq t \leq 5), vị trí ban đầus(0)=0s(0)=0.
    (a) Tính quãng đường vật đi được từ t=0t=0 đếnt=5t=5.
    (b) Tính vị trí vật tại thời điểmt=5t=5.

  • (a) Xác định thời điểm vật đổi chiều:t2−4=0t^2-4=0⇨t=2t=2.
  • Tính quãng đường từng đoạn:
    -S1S_1:t=0t=0 đếnt=2t=2. Vận tốc âm (vật lùi):
    S1=∣s(2)−s(0)∣S_1 = | s(2) - s(0) |
  • Tìm hàm vị trí:s(t)=13t3−4t+Cs(t) = \frac{1}{3} t^3 - 4t + C
    Thays(0)=0oC=0s(0)=0 o C=0.
    s(2)=83−8=−163\qquad s(2) = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}
    VậyS1=∣−163∣=163S_1 = |-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}(m)
  • -S2S_2:t=2t=2 đếnt=5t=5, vận tốc dương:
    s(5)=1253−20=125−603=653s(5) = \frac{125}{3} - 20 = \frac{125-60}{3} = \frac{65}{3}
    S2=∣s(5)−s(2)∣=∣653−(−163)∣=813=27S_2 = | s(5) - s(2) | = \left| \frac{65}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) \right| = \frac{81}{3} = 27(m)
  • Tổng quãng đường:S=S1+S2=163+27=973S = S_1 + S_2 = \frac{16}{3} + 27 = \frac{97}{3}(m)
  • (b) Vị trí tạit=5t=5 đã tính ở trên:s(5)=653s(5) = \frac{65}{3}(m)

    • 8. Bài tập thực hành tự luyện

  • Bài 1: Vật chuyển động có vận tốcv(t)=−t+3v(t) = -t + 3. Tính quãng đường vật đi được từ t=0t=0 đếnt=6t=6.
  • Bài 2: Biết v(t)=4sin⁡tv(t) = 4\sin t, s(0)=0s(0) = 0. Tính quãng đường vật đi được khi tttăng từ 00 đến2π2\pi.
  • Bài 3: Vật có vị trí s(t)=t3−6t2+9t+1s(t) = t^3 - 6 t^2 + 9 t + 1,t∈[0;4]t \in [0;4]. (a) Tính vận tốc tạit=3t=3. (b) Tính quãng đường vật đi được trên đoạn[0;4][0;4].

    • 9. Mẹo, lưu ý và lỗi thường gặp khi giải bài toán hàm tốc độ

  • - Luôn kiểm tra dấu vận tốc trên từng đoạn, tránh gộp quãng đường nếu vật đổi chiều trong khoảng xét.
  • - Nhớ lấy giá trị tuyệt đối khi tính quãng đường:S=∫ab∣v(t)∣dtS = \textstyle\int_{a}^{b} |v(t)| dt.
  • - Khi tích phân vận tốc để tìm vị trí, đừng quên cộng hằng số CC(dựa vào điều kiện đầu bài).
  • - Đặt điều kiện cho các tham số thời gian hợp lí, tránh lấy ngoài khoảng xác định.
  • - Nên vẽ bảng biến thiên hoặc xét dấu vận tốc để không bị nhầm hướng chuyển động.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".