Blog

Lớp 12

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Khảo Sát Hàm Phân Thức Có Chứa Tham Số Lớp 12

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu: Bài Toán Khảo Sát Hàm Phân Thức Có Chứa Tham Số Là Gì? Tại Sao Quan Trọng?

Khảo sát hàm phân thức có chứa tham số là dạng toán nâng cao trong chương trình Toán lớp 12. Dạng bài này liên quan đến các hàm phân thức dạng y=P(x,m)Q(x,m)y = \frac{P(x, m)}{Q(x, m)}, trong đó mm là tham số. Phân tích kỹ càng các tính chất của hàm này sẽ giúp học sinh làm chủ những câu hỏi chắc chắn xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và nhiều kỳ kiểm tra quan trọng.

2. Đặc điểm của bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số

  • • Hàm số có dạng phân thức: Tử và mẫu có thể chứa biếnxxvà tham số mm.
  • • Tham số mmlàm thay đổi tập xác định, tiệm cận, cực trị hoặc hình dạng đồ thị hàm số.
  • • Bài toán thường yêu cầu xác định giá trị củammthoả mãn một điều kiện (cực trị, tiệm cận, đồng biến/nghịch biến, cắt trục hoành, …).

    • 3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

    Khi gặp bài toán khảo sát hàm phân thức có tham số, bạn nên tiến hành theo các bước sau:

  • Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số với tham số mm.
  • Bước 2: Tìm các điểm đặc biệt (nghiệm tử, nghiệm mẫu, điểm gây không xác định hoặc gián đoạn).
  • Bước 3: Tìm tiệm cận đứng (giảiQ(x,m)=0Q(x, m) = 0), tiệm cận ngang hoặc chéo.
  • Bước 4: Tính đạo hàmy′y'theoxx, tìm điều kiện để hàm số đồng biến/nghịch biến, cực trị.
  • Bước 5: Giải các điều kiện đặc biệt mà đề bài yêu cầu dựa vàomm.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ: Khảo sát và xác địnhmmđể hàm sốy=x+mx−my = \frac{x + m}{x - m} đồng biến trên(1,+∞)\big(1, +\infty\big).
    • Bước 1: Xác định tập xác định.

    Hàm số xác định khix−m≠0⇔x≠mx - m \neq 0 \Leftrightarrow x \neq m.

    • Bước 2: Tính đạo hàm.

    y′=(1)(x−m)−(x+m)(1)(x−m)2=x−m−x−m(x−m)2=−2m(x−m)2y' = \frac{(1)(x-m) - (x + m)(1)}{(x - m)^2} = \frac{x - m - x - m}{(x-m)^2} = \frac{-2m}{(x-m)^2}

    • Bước 3: Xét dấu đạo hàm để tìm điều kiện đồng biến.

    Hàm đồng biến trên(1,+∞)⇔y′>0(1, +\infty) \Leftrightarrow y' > 0trên(1,+∞)(1, +\infty).

    Do(x−m)2>0(x - m)^2 > 0vớix≠mx \neq m, nêny′y'cùng dấu với−2m-2m.

    Để y′>0y' > 0thì −2m>0⇔m<0-2m > 0 \Leftrightarrow m < 0. Tuy nhiên, trong(1,+∞)(1, +\infty),xxcó thể bằngmmnếum>1m > 1. Để đảm bảo không chia cho 0, cầnm∉(1,+∞)m \notin (1,+\infty).

    Vậy, kết hợp điều kiện:m<0m < 0.

    5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • • Đạo hàm phân thức:(uv)′=u′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
  • • Điều kiện xác định: Mẫu số khác 0 (Q(x,m)≠0Q(x,m) \neq 0)
  • • Xét dấu đạo hàm để khảo sát đồng biến/nghịch biến:y′>0y' > 0(đồng biến),y′<0y' < 0(nghịch biến)
  • • Tiệm cận đứng:Q(x,m)=0Q(x,m) = 0; Tiệm cận ngang/chéo: Xét giới hạn khix→±∞x \to \pm \infty

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • • Tìmmm để hàm phân thức có cực trị/cực đại/cực tiểu tại 1 điểm xác định.
  • • Tìm giá trị mm để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất/lớn nhất tạixxthỏa mãn điều kiện.
  • • Xác địnhmmsao cho hàm có tiệm cận đặc biệt (đi qua một điểm cố định hoặc tiếp xúc với trục tọa độ, v.v.).

    • Lưu ý: Mỗi dạng sẽ yêu cầu thêm kỹ thuật, ví dụ: giải hệ phương trình, xét dấu đạo hàm theomm, hoặc sử dụng bất đẳng thức.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

    Bài tập mẫu 1: Cho hàm số y=x2+mx−1y = \frac{x^2 + m}{x - 1}. Tìmmm để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt cùng dấu.
  • Bước 1: Điều kiện xác định:x−1≠0⇒x≠1x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
  • Bước 2: Tìm giao điểm với trục hoành (y=0y=0):x2+m=0⇒x2=−mx^2 + m = 0 \Rightarrow x^2 = -m.
  • Để có hai điểm phân biệt cùng dấu:

    • x2=−mx^2 = -mcó hai nghiệm phân biệt⇔−m>0⇔m<0\Leftrightarrow -m > 0 \Leftrightarrow m < 0. Khi đó, hai nghiệm là x=−mx = \sqrt{-m}và x=−−mx = -\sqrt{-m}.

    Hai nghiệm cùng dấu ⇔\Leftrightarrowchỉ khix=0x = 0(trùng nghiệm) hoặc không có (dox=±−mx = \pm \sqrt{-m}) ⇒ Bài toán không có giá trị mm thỏa mãn yêu cầu.

    (Có thể điều chỉnh yêu cầu bài toán nếu cần giải mẫu rõ hơn cho dạng khác).

    Bài tập mẫu 2: Choy=x+mx−3y = \frac{x + m}{x - 3}. Tìmmm để hàm số nghịch biến trên(3,+∞)(3, +\infty).
  • Đạo hàm:y′=(1)(x−3)−(x+m)(1)(x−3)2=x−3−x−m(x−3)2=−3−m(x−3)2y' = \frac{(1)(x-3) - (x+m)(1)}{(x-3)^2} = \frac{x-3-x-m}{(x-3)^2} = \frac{-3-m}{(x-3)^2}
  • Hàm nghịch biến trên(3,+∞)⇔y′<0(3, +\infty) \Leftrightarrow y' < 0trên(3,+∞)(3, +\infty).
  • Với(x−3)2>0∀x>3(x-3)^2 > 0 \forall x > 3, do đó y′<0⇔−3−m<0⇔m>−3y' < 0 \Leftrightarrow -3 - m < 0 \Leftrightarrow m > -3.

    • Vậym>−3m > -3là điều kiện để hàm số nghịch biến trên(3,+∞)(3, +\infty).

    8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

  • 1. Cho hàm số y=x−mx+2y = \frac{x - m}{x + 2}. Tìmmm để hàm số đồng biến trên(−∞,−2)(-\infty, -2).
  • 2. Choy=x2−mx−1y = \frac{x^2 - m}{x - 1}. Tìmmm để hàm số có đúng một tiệm cận đứng.
  • 3. Tìmmmđể đồ thịy=mx+1x−2y = \frac{mx+1}{x-2}cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.
  • 4. Choy=x+mm−xy = \frac{x+m}{m-x}. Tìmmm để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

    • 9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • • Luôn xét điều kiện xác định trước khi làm các bước tiếp theo.
  • • Khi lấy đạo hàm, chú ý chính xác biểu thức tử và mẫu.
  • • Đừng bỏ sót trường hợp nghiệm rơi vào giá trị làm hàm không xác định.
  • • Vẽ bảng biến thiên để kiểm chứng kết quả nếu có thời gian.
  • • Đối với các điều kiện liên quan tới dấu, nên tách thành các khoảng xác định để xét cụ thể.

    • Kết luận chung

    Bài toán khảo sát hàm phân thức có chứa tham số là dạng bài điển hình cho khả năng lập luận logic và vận dụng tổng hợp các kiến thức toán học lớp 12. Áp dụng nhuần nhuyễn chiến lược trên, học sinh sẽ có đủ tự tin chinh phục các bài toán dạng này trong các kỳ thi quan trọng.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".