Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Lớp 12

1. Giới Thiệu Về Bài Toán Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau

Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (hay còn gọi là hai đường thẳng không cắt nhau và không song song trong không gian) là một dạng bài thường gặp trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Bài toán này xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi học sinh giỏi. Việc nắm vững cách giải giúp học sinh phát triển tư duy hình học không gian, nâng cao kỹ năng vận dụng các công thức vector và nhận diện hình học trong không gian.

2. Đặc Điểm Nhận Dạng Bài Toán

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, không cắt nhau và không song song nhau trong không gian. Để nhận dạng, ta kiểm tra hướng của hai đường thẳng (qua vector chỉ phương), nếu không cùng phương và hai đường không cùng thuộc một mặt phẳng thì đó là hai đường chéo nhau.

3. Chiến Lược Tổng Thể Để Giải Bài Toán

• Bước 1: Viết phương trình tham số cho hai đường thẳng.
• Bước 2: Xác định vector chỉ phương của hai đường và hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc mỗi đường.
• Bước 3: Tìm vector nối hai điểm thuộc hai đường thẳng.
• Bước 4: Tính tích có hướng của hai vector chỉ phương để có vector vuông góc với cả hai đường.
• Bước 5: Khoảng cách là độ dài hình chiếu của vector nối hai điểm lên phương của vectơ tích có hướng.

4. Các Bước Giải Chi Tiết Với Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ: Cho hai đường thẳng$d_1$và $d_2$:
$d_1:\ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$
$d_2:\ \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{-2}$
Tìm khoảng cách giữa$d_1$và $d_2$.

Bước 1: Chọn lần lượt điểm$A(1,-1,0)$thuộc$d_1$, điểm$B(0,2,-1)$thuộc$d_2$. Bước 2: Xác định vector chỉ phương: Với$d_1$:$\vec{u}_1=(2,-1,3)$,$d_2$:$\vec{u}_2=(1,2,-2)$Bước 3: Vector$\vec{AB} = \overrightarrow{AB} = (0-1,\ 2-(-1),\ -1-0) = (-1,3,-1)$Bước 4: Tính tích có hướng:
\vec{u}_1$\times$\vec{u}_2 = \left|\[\begin{matrix*} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \\\end{matrix*}\]\right| = \vec{i}((-1)(-2) - 32) - \vec{j}(2(-2) - 31) + \vec{k}(22 - (-1)1) = \vec{i}(2 -6) - \vec{j}(-4-3) + \vec{k}(4+1)
= \vec{i}(-4) - \vec{j}(-7) + \vec{k}(5) = (-4,7,5)

Bước 5: Áp dụng công thức khoảng cách:
$d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|} <br />Ta có:<br />$\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) = (-1)(-4) + 37 + (-1)*5 = 4 + 21 - 5 = 20$<br /> |\vec{u}_1 \times \vec{u}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{16+49+25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$
$\Rightarrow d = \frac{|20|}{3\sqrt{10}} = \frac{20}{3\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$

5. Công Thức Và Kỹ Thuật Cần Nhớ

• Phương trình tham số đường thẳng:$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$
• Vector chỉ phương đường thẳng:$(a,b,c)$
• Tích có hướng hai vector$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\a_3b_1 - a_1b_3,\a_1b_2 - a_2b_1)$
• Công thức tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:$d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2)|}{|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2|}$

6. Các Biến Thể Của Bài Toán Và Cách Điều Chỉnh Chiến Lược

• Hai đường thẳng cho bởi phương trình chính tắc, cần chuyển sang tham số sau đó áp dụng chiến lược trên.
• Nếu bài toán yêu cầu tìm vị trí điểm$M, N$nằm lần lượt trên$d_1, d_2$sao cho$MN$vuông góc với cả hai đường: áp dụng điều kiện$\overrightarrow{MN} \perp \vec{u}_1$và $\overrightarrow{MN} \perp \vec{u}_2$và giải hệ phương trình tìm toạ độ hai điểm, sau đó tính$MN$.
• Khi đề bài cho hai đường song song: khoảng cách là khoảng cách từ một điểm thuộc đường này đến đường kia.

7. Bài Tập Mẫu Có Lời Giải Chi Tiết

Bài toán: Cho$d_1:\ \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z}{1}$và $d_2: x=2+t, \y=1+2t, \z=3t$tìm khoảng cách giữa$d_1$và $d_2$.

Lời giải:
- Chọn $A(1,-2,0) \in d_1$, $B(2,1,0) \in d_2$với$t=0$
- $\vec{AB} = (2-1, 1-(-2), 0-0) = (1,3,0)$
- Vector chỉ phương $d_1$: $\vec{u}_1=(1,-2,1)$; $d_2$: $\vec{u}_2=(1,2,3)$
- Tích có hướng:

8. Bài Tập Thực Hành

• Cho$d_1:\ \frac{x-2}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$và $d_2:\ \frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{2}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.
• Cho$d_1:\x=1+2t,\y=2-t,\z=1+3t$;$d_2:\x=3+s,\y=1+2s,\z=4-s$. Hãy tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trên.

9. Các Mẹo Và Lưu Ý Để Tránh Sai Lầm Phổ Biến

• Luôn kiểm tra hai đường có đồng phẳng hoặc song song hay không trước khi giải.
• Cẩn thận khi lấy hai điểm thuộc hai đường, tránh nhầm lẫn chỉ phương.
• Phải quy đồng các phép toán vector và kiểm tra kỹ kết quả tích có hướng.
• Kết quả khoảng cách luôn là số dương, lấy giá trị tuyệt đối.
• Nên luyện tập nhiều bài với dạng phương trình khác nhau.