Chiến lược giải quyết bài toán kiểm tra chất lượng lớp 12: Phân tích, Kỹ thuật và Bài tập minh họa

1. Giới thiệu về bài toán kiểm tra chất lượng và vai trò trong Toán 12

Bài toán kiểm tra chất lượng là dạng bài toán xác suất thường gặp trong chương trình Toán 12, đặc biệt trong chương “Xác suất có điều kiện”. Loại bài toán này liên quan đến việc kiểm soát, đánh giá sản phẩm qua kiểm tra một phần mẫu (ví dụ: chọn ngẫu nhiên bàn/ viên bi/ sản phẩm từ lô hàng và kiểm tra xem có bao nhiêu sản phẩm đạt chuẩn hoặc không đạt chuẩn).

Đây là bài toán thực tiễn cao vì xuất hiện nhiều trong các đề thi, kiểm tra, và cũng là kiến thức nền tảng áp dụng trong quản trị, sản xuất và nghiên cứu khoa học kỹ thuật.

2. Đặc điểm của bài toán kiểm tra chất lượng

• Có một lô sản phẩm gồm hai loại: đạt chuẩn và không đạt chuẩn.
• Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm để kiểm tra.
• Câu hỏi phổ biến: Xác suất để chọn được số sản phẩm đạt/không đạt chuẩn nhất định.
• Có thể gắn với việc quyết định loại bỏ lô hàng nếu phát hiện sản phẩm không đạt chuẩn.

Dạng bài toán này thường xuất hiện yêu cầu như: "Xác suất để lô hàng được chấp nhận?", "Có bao nhiêu cách chọn?", hoặc "Tính xác suất ít nhất/mỗi/cụ thể số sản phẩm loại".

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán kiểm tra chất lượng

Để giải đúng và nhanh bài toán kiểm tra chất lượng, nên thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định tổng số sản phẩm, phân loại số đạt và không đạt chuẩn.
• Bước 2: Xác định số sản phẩm được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra.
• Bước 3: Diễn đạt yêu cầu bài toán thành mô hình xác suất (xác định biến cố cần tìm, số cách chọn thỏa mãn, số cách chọn tổng cộng).
• Bước 4: Áp dụng công thức xác suất (thường dùng quy tắc kết hợp, hoán vị, tổ hợp, xác suất không gian hữu hạn, xác suất có điều kiện).

4. Cách giải bài toán kiểm tra chất lượng — Hướng dẫn chi tiết với ví dụ

Ví dụ 1: Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm bị lỗi. Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm đó:

a) Có đúng 1 sản phẩm bị lỗi.

- Tổng số cách chọn 5 sản phẩm từ 20:C_{20}^{5}

- Số cách chọn 1 sản phẩm lỗi từ 3 sản phẩm lỗi:C_{3}^{1}

- Số cách chọn 4 sản phẩm không lỗi từ 17 cái còn lại:C_{17}^{4}

=> Số cách chọn thỏa mãn điều kiện:C_{3}^{1}$\times$C_{17}^{4}

=> Xác suất cần tìm:

- Tính giá trị:

$C_{3}^{1} = 3$;$C_{17}^{4} = 2380$;$C_{20}^{5} = 15504$

P =$\frac{3 \times 2380}{15504} \approx 0,4602$

Nhận xét: Thêm trường hợp có ít nhất, nhiều nhất, hoặc không sản phẩm lỗi thì chỉ cần điều chỉnh số tổ hợp tương ứng (cộng các trường hợp thỏa mãn).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổ hợp:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Xác suất không gian hữu hạn: P(A) = \frac{số~kết~quả~thuận~lợi}{tổng~số~kết~quả~có~thể}
• Xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Tổng xác suất với nhiều trường hợp:$P = P_1 + P_2 +...$
• Với "ít nhất", "nhiều nhất" — cộng các trường hợp thỏa mãn.

6. Các biến thể của bài toán kiểm tra chất lượng và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• "Chọn đến khi phát hiện 1 sản phẩm lỗi": Dùng xác suất có điều kiện hoặc biến cố dừng chọn.
• "Xét lô hàng đạt chuẩn khi kiểm tra không tìm thấy sản phẩm lỗi": Xác định biến cố không có sản phẩm lỗi trong mẫu, rồi tính xác suất.
• "Mẫu kiểm tra lớn/số sản phẩm lỗi nhỏ": Có thể dùng xấp xỉ nhị thức/các công thức xác suất liên quan.

Điểm chung: Luôn xác định rõ tổng số sản phẩm, số sản phẩm lỗi, số sản phẩm chọn, phân tích các trường hợp/phép tổ hợp phù hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Một kho chứa 50 bóng đèn, trong đó có 5 bóng bị hỏng. Từ kho chọn ngẫu nhiên 8 bóng để kiểm tra. Tính xác suất có:

a) Không bóng nào bị hỏng.

Số bóng cháy tốt:$50-5=45$

- Số cách chọn 8 bóng không hỏng từ 45:$C_{45}^{8}$

- Tổng số cách chọn 8 bóng từ 50:$C_{50}^{8}$

=> Xác suất:$P = \frac{C_{45}^{8}}{C_{50}^{8}}$

b) Có đúng 2 bóng bị hỏng.

- Số cách chọn 2 bóng hỏng từ 5:$C_{5}^{2}$

- Số cách chọn 6 bóng tốt từ 45:$C_{45}^{6}$

=> Số cách chọn:$C_{5}^{2} \times C_{45}^{6}$

=> Xác suất:$P = \frac{C_{5}^{2} \times C_{45}^{6}}{C_{50}^{8}}$

8. Bài tập thực hành luyện tập

• Bài 1: Một xí nghiệp có 30 sản phẩm, trong đó 2 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm đem kiểm tra. Tính xác suất để mẫu kiểm tra có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.
• Bài 2: Một lô hàng có 100 chi tiết trong đó có 7 chi tiết không đạt chuẩn. Lấy ngẫu nhiên 10 chi tiết để kiểm tra. Tính xác suất để không phát hiện chi tiết lỗi nào.
• Bài 3: Một lô bóng đèn có 15 bóng tốt và 5 bóng hỏng. Lấy 6 bóng bất kỳ để kiểm tra. Tính xác suất trong 6 bóng đó có đúng 2 bóng hỏng.

9. Các mẹo, lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Phải xác định đúng tổng số mẫu, số sản phẩm lỗi và số mẫu kiểm tra.
• Chú ý chia trường hợp hợp lý (ít nhất, nhiều nhất, đúng một số lượng: đều dùng phép tổ hợp phù hợp).
• Không dùng xác suất độc lập nếu bài toán rõ là chọn không hoàn lại.
• Sử dụng quy tắc cộng và nhân trong tổ hợp hợp lý. Đọc kỹ đề để tránh thiếu hoặc sót trường hợp.
• Luôn kiểm tra lại mẫu tổng và mẫu chia trường hợp — kiểm tra tính đủ đầy của các trường hợp thỏa mãn điều kiện.