1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng bài toán Nguyên hàm từng phần là một trong những dạng cơ bản và phổ biến nhất trong chương trình Giải tích lớp 12. Loại bài này thường chiếm từ 1–2 câu trong các đề kiểm tra định kỳ và đặc biệt xuất hiện rất nhiều trong đề thi THPT Quốc gia, giúp đánh giá khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp và kỹ năng tính toán cẩn thận của học sinh.

Không chỉ là công cụ mạnh mẽ để giải các nguyên hàm phức tạp, nguyên hàm từng phần còn là nền tảng để tiếp cận tích phân từng phần – một kiến thức quan trọng ở các bậc học cao hơn.

Với hơn 39.025+ bài tập cách giải Nguyên hàm từng phần miễn phí, học sinh có thể luyện tập để thành thạo dạng toán này mà không cần đăng ký tài khoản.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Bài toán nguyên hàm từng phần thường xuất hiện dưới dạng:

Nguyên hàm của tích hai hàm số khác loại, ví dụ: $\int x e^x dx$, $\int x \sin x dx$, $\int x \ln x dx$.Đề bài có các từ khóa như: “nguyên hàm từng phần”, “áp dụng công thức nguyên hàm từng phần”, hoặc "nguyên hàm của tích".Khi dùng bảng nguyên hàm cơ bản không áp dụng được trực tiếp.

Phân biệt với các dạng nguyên hàm khác bằng việc đề bài cho tích hai hàm số và mỗi hàm đều khó nguyên hàm trực tiếp.

2.2 Kiến thức cần thiết

Công thức nguyên hàm từng phần:$\int u dv = uv - \int v du$Kỹ năng chọn$u$và $dv$hợp lý, phân tích độ phức tạp của từng hàm.Nhớ bảng nguyên hàm cơ bản, đạo hàm các hàm số quen thuộc: luỹ thừa, mũ, logarit, lượng giác.Có thể phải sử dụng phương pháp lặp nhiều lần hoặc kết hợp với các phương pháp khác (đổi biến, tách biểu thức,...).

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc đề kỹ, xác định rõ hàm số cần tính nguyên hàm và dạng tích của hai hàm số.
- Xác định mục tiêu cần tìm (kết quả là một hàm số nguyên hàm, cần dạng đơn giản nhất).
- Đánh dấu các dữ liệu cho sẵn và kiểm tra xem sử dụng nguyên hàm từng phần là phù hợp.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Xác định lựa chọn$u$và $dv$, ưu tiên chọn$u$là hàm dễ lấy đạo hàm,$dv$là phần dễ nguyên hàm.
- Vạch ra từng bước tính toán dựa trên công thức.
- Dự đoán kết quả có đơn giản được không, có cần lặp lại từng phần nhiều lần không.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
- Tính đạo hàm$u$, nguyên hàm$dv$, sau đó thay vào công thức.
- Đơn giản hoá biểu thức, kiểm tra tính hợp lý.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định$u$,$dv$.
Bước 2: Tính$du = u'$và $v = \int dv$.
Bước 3: Áp dụng công thức$\int u dv = uv - \int v du$.
Ưu điểm: Dễ dàng thực hiện khi bài toán đơn giản, vận dụng trực tiếp công thức.
Lưu ý: Không nên chọn$u$hoặc$dv$là những hàm khó đạo hàm/khó nguyên hàm.

4.2 Phương pháp nâng cao

Sử dụng nguyên hàm từng phần nhiều lần (ví dụ:$\int x^2 e^x dx$).Kết hợp đổi biến hoặc tách biểu thức phức tạp trước khi áp dụng.Mẹo nhớ lựa chọn$u$: Theo quy tắc LIATE (Logarit, Inverse, Algebraic, Trigonometric, Exponential).

Ưu điểm: Xử lý được các dạng toán phức tạp hơn, giúp tối ưu hóa thời gian làm bài. Hạn chế: Dễ mắc lỗi nếu không cẩn thận lúc tính toán hoặc chọn sai$u$và $dv$.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Tính nguyên hàm$\int x e^x dx$.

Phân tích: Dạng tích giữa đa thức và hàm mũ, không nguyên hàm được trực tiếp.

Chọn$u = x \Rightarrow du = dx$;$dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$.

Áp dụng công thức:
$<br />\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C<br />$
Giải thích: Đạo hàm$x$thành$1$giúp đơn giản hóa bài toán, nguyên hàm$e^x$dễ tìm.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Tính $\int x^2 \sin x dx$.

Phân tích: Nếu chọn$u = x^2$, sau hai lần từng phần sẽ hết biến$x$.

Chọn lần 1: $u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx$; $dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x$

$<br />\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx<br />$
Chọn lần 2: $u = 2x \Rightarrow du = 2 dx$; $dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x$

$<br />\int 2x \cos x dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x dx = 2x \sin x + 2 \cos x<br /> <br />Kết quả cuối:<br />$
\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
$<br />So sánh cách làm: Nếu chọn$u$ là hàm số giảm bậc qua mỗi bước từng phần sẽ tối ưu hơn.

6. Các biến thể thường gặp

Tích đa thức với hàm logarit:$\int x \ln x dx$.Nguyên hàm có chứa tổng nhiều tích: $\int (x e^x + x \sin x) dx$.Tích với hàm lượng giác, mũ, logarit, đảo hàm... đều có thể gặp.

Chiến lược ứng phó: Luôn chọn$u$là hàm số dễ giảm bậc hoặc có đạo hàm đơn giản nhất, linh hoạt tách nhỏ biểu thức hoặc phối hợp nhiều phương pháp.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

Chọn sai$u$và $dv$dẫn đến tính toán phức tạp hoặc không thể giải tiếp.Dùng nguyên hàm từng phần cho các bài vốn có thể giải ngay bằng bảng nguyên hàm cơ bản.Quên cộng hằng số $C$trong kết quả cuối cùng.Khắc phục: Luyện tập nhiều mẫu để thành thạo lựa chọn, tra cứu nhanh bảng nguyên hàm cơ bản trước khi ra quyết định.

7.2 Lỗi về tính toán

Tính đạo hàm hoặc nguyên hàm sai.Nhân phân phối hoặc đơn giản hoá biểu thức không chuẩn.Làm tròn số hoặc nhầm lẫn số dấu.Kiểm tra: Thay thử nghiệm kết quả nguyên hàm vào đạo hàm, so sánh với hàm ban đầu.

8. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập kho luyện tập với hơn 39.025+ bài tập cách giải Nguyên hàm từng phần miễn phí.
- Không cần đăng ký, làm bài trực tuyến và nhận phản hồi ngay lập tức.
- Theo dõi tiến độ luyện tập, củng cố kỹ năng và tự tin hơn trước các kỳ thi.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Lập lịch luyện tập tuần: 3–4 buổi/tuần. Mỗi buổi 30–60 phút, tập trung vào các dạng bài khác nhau.
- Đặt mục tiêu đạt 80% đúng trước khi chuyển sang bài nâng cao hoặc biến thể khác.
- Sau mỗi tuần, đánh giá lại bằng cách làm đề tổng hợp hoặc đề thi thử, kiểm tra kỹ các lỗi hay mắc phải.
- Tổng kết và xem lại lý thuyết những chỗ còn hổng, thử nghiệm những mẹo lựa chọn$u$và $dv$nhanh nhất.