Blog

Lớp 12

Chiến lược giải quyết bài toán Nhận biết hệ tọa độ trong không gian lớp 12

T
Tác giả
•
•9 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán Nhận biết hệ tọa độ trong không gian và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, các bài toán về hệ tọa độ trong không gian có vai trò nền tảng không chỉ với học sinh chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn giúp phát triển tư duy không gian và khả năng hình dung hình học ba chiều. Việc nhận biết hệ tọa độ chuẩn xác là bước đầu tiên và quan trọng nhất trước khi giải các dạng bài tập khác như tính toán khoảng cách, viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, xác định vị trí tương đối,…

2. Đặc điểm của bài toán nhận biết hệ tọa độ trong không gian

  • Thường liên quan đến xác định hoặc suy luận về gốc tọa độ, các trụcOx,Oy,OzOx, Oy, Oz.
  • Yêu cầu nhận diện đúng vector đơn vị, xác định mối liên hệ giữa các trục.
  • Có thể yêu cầu nhận biết vị trí điểm, phương trình hình học trong không gian thông qua hệ tọa độ.

    • Nắm chắc được hệ tọa độ giúp học sinh giải quyết các bài toán nâng cao về hình học không gian một cách hiệu quả hơn.

    3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

  • Xác định yêu cầu bài toán: Đề bài hỏi về yếu tố nào trong hệ tọa độ?
  • Vẽ hình minh họa (nếu có thể) để hình dung rõ các trục và mối liên hệ.
  • Áp dụng các định nghĩa và công thức cơ bản về hệ tọa độ trực giao Oxyz.
  • Liên hệ với các yếu tố hình học (điểm, đường, mặt phẳng, vector).
  • Phân tích và vận dụng các tiêu chí nhận biết đặc thù từng dạng bài.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Xét ví dụ sau:

  • Ví dụ: Cho tứ diệnOABCOABCvớiOOlà gốc tọa độ. Các điểmA(1;0;0)A(1;0;0),B(0;2;0)B(0;2;0),C(0;0;3)C(0;0;3). Hãy nhận biết vị trí các trục tọa độ.
  • Bước 1: Nhận biết gốc tọa độ O(0;0;0)O(0;0;0).
  • Bước 2: Xác định các trục:
  • - ĐiểmA(1;0;0)A(1;0;0)nằm trên trụcOxOx(xxthay đổi,y=0y=0,z=0z=0).
  • - ĐiểmB(0;2;0)B(0;2;0)nằm trên trụcOyOy(yythay đổi,x=0x=0,z=0z=0).
  • - ĐiểmC(0;0;3)C(0;0;3)nằm trên trụcOzOz(zzthay đổi,x=0x=0,y=0y=0).
  • Bước 3: Kết luận về hướng và vị trí các trục trên hình vẽ.
  • Bước 4: Nếu đề yêu cầu, xác định véc-tơ đơn vị trên mỗi trục:
    undefined
    O,,A,,B,,C$ đóng vai trò gì trên hệ Oxyz.} \\ext{Xác định tọa độ những điểm còn lại theo từng trục.} \\ext{Áp dụng các định thức hình học, tích vô hướng, tích có hướng để xác nhận chính xác hệ tọa độ.} \begin{cases} \boldsymbol{a}.\boldsymbol{b} = 0 & ext{(vuông góc)} \ |\boldsymbol{a}| = 1 & ext{(độ dài 1 đơn vị)} \\ext{Nếu bài cho các điểm bất kỳ:} \\ext{Sử dụng biến đổi tọa độ, xét song song, vuông góc...} \\ext{Nếu các trục không trực giao:} \\ext{Cần nhận diện hệ tọa độ chéo.} \\ext{Cần dựng hình vẽ minh họa.} \\ext{Chú ý các đơn vị độ dài.} \\ext{Vận dụng thêm hình học không gian cơ bản.} \\ext{Sử dụng các mệnh đề vector.} \\ext{Có thể tính góc giữa hai trục nếu không vuông góc.} \\ext{Vận dụng các công thức vector tổng quát.} \\ext{Kiểm tra vectơ tích có hướng hoặc tích hỗn tạp để xác định tính độc lập tuyến tính.} \\ext{Ngoài ra, nhận biết mặt phẳng Oxy, Oz, Oxz,... khi chỉ có hai thành phần khác 0.} \\ext{Kết luận hệ tọa độ đặc trưng theo yêu cầu đề bài.} \\ext{Kiểm tra điều kiện xác định hệ tọa độ chuẩn: vuông góc từng đôi – đơn vị (chuẩn tắc).} \\ext{Nếu không, chỉ ra hướng dẫn nghiệm tổng quát.} \ext{Hoặc xét các trường hợp đặc biệt nếu có yêu cầu.} \\ext{Sử dụng phép quay hoặc tịnh tiến hệ tọa độ nếu bài yêu cầu biến đổi.} \ext{Kiểm tra lại mối quan hệ giữa các tọa độ và hình vẽ.} \\ext{Kết luận bài toán.} \\ext{Chỉ ra bản chất: Xác định hệ tọa độ là xác định các trục đơn vị vuông góc, có gốc trùng nhau.} \\ext{Ứng dụng: Giải toán hình học không gian với tọa độ và vector.} \\ext{Có thể sử dụng các phần mềm hình học để kiểm tra nếu bài phức tạp.} \\ext{Hoặc ứng dụng góc lượng giác (khi tính góc), tích vô hướng khi kiểm tra vuông góc.} \\ext{Củng cố kiến thức hình học không gian và vector.} \ext{Chốt lại: Hệ tọa độ xác định bởi gốc và ba vector không đồng phẳng, đôi một vuông góc, độ dài 1.} \\ext{Vận dụng kiến thức này trong các bài toán về phương trình đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách...} \\ext{Dùng phần mềm vẽ hình (GeoGebra, Cabri 3D...) hỗ trợ hình dung nếu có điều kiện.} \\ext{Liên hệ thực tế: các ứng dụng trong máy bay, vũ trụ, rô-bốt, kỹ thuật... đều cần hệ tọa độ không gian.} \ext{Luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo.} \\ext{Luôn kiểm tra chéo câu trả lời với đề bài và hình vẽ.} \\ext{Nếu biến đổi hệ tọa độ, cần chú ý phương trình chuyển đổi.} \\ext{Tổng kết: Xác định hệ tọa độ = xác định gốc, 3 trục vuông góc, vector đơn vị.} \\ext{Chú ý các bài toán lớp 12 thường chỉ dùng hệ Oxyz chuẩn tắc.} \\ext{Nếu có biến thể, chú ý tính độc lập tuyến tính của các vector.} \\ext{Nắm vững yếu tố này, giải quyết được đa số các bài toán hình học không gian liên quan đến tọa độ.} \\ext{Kiểm tra lại tổng thể, lý giải từng bước cho câu trả lời.} \\ext{Luôn trình bày rõ ràng, mạch lạc.} \\ext{Hoặc kiểm tra lại đáp án theo thực tiễn (nếu có).

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • AB→=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A).
  • Tích vô hướng:a→⋅b→=x1x2+y1y2+z1z2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2.
  • Độ dài vector: ∣a→∣=x2+y2+z2|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Voxel đơn vị:(1;0;0)(1;0;0),(0;1;0)(0;1;0),(0;0;1)(0;0;1)lần lượt đại diện cho các trụcOx,Oy,OzOx, Oy, Oz.
  • Phương trình mặt phẳng:ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0; phương trình đường thẳng:

    • x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}(a,b,ca,b,clà các thành phần của vector chỉ phương).

    • Nếu các vector không vuông góc hoặc không đơn vị, hệ tọa độ không phải chuẩn tắc.

    6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Hệ tọa độ không chuẩn tắc: Cần kiểm tra tính độc lập, vuông góc, đơn vị.
  • Tọa độ các điểm không nằm trên trục: Cần xác định mặt phẳng hoặc không gian phụ tương ứng.
  • Bài toán biến đổi hệ trục: Áp dụng công thức chuyển hệ hoặc phép quay, phép tịnh tiến.
  • Bài toán liên quan phương trình đường thẳng, mặt phẳng: Nhận biết hệ tọa độ rồi vận dụng kiến thức liên quan.

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

  • Bài tập: Trong không gian với hệ trụcOxyzOxyz, cho một điểmP(4;−2;5)P(4; -2; 5). Hãy xác định xem điểmPPnằm trên mặt phẳng nào trong các mặt phẳng tọa độ:(Oxy)(Oxy),(Oyz)(Oyz),(Ozx)(Ozx)?
  • Lời giải:
  • ĐiểmPPcó tọa độ (4;−2;5)(4; -2; 5). Điểm thuộc mặt phẳngOxyOxynếuz=0z=0, thuộcOyzOyznếux=0x=0, thuộcOzxOzxnếuy=0y=0. Nhưng ở đâyz=5≠0z=5\ne 0,x=4≠0x=4\ne 0,y=−2≠0y=-2\ne 0nên điểmPPkhông nằm trên bất kỳ mặt phẳng tọa độ nào.
  • Kiểm tra lại:PPkhông thuộc(Oxy)(Oxy)doz≠0z \neq 0, không thuộc(Oyz)(Oyz)dox≠0x \neq 0, không thuộc(Ozx)(Ozx)doy≠0y \neq 0.
  • Kết luận:PPkhông nằm trên bất kỳ mặt phẳng tọa độ nào.

    • 8. Bài tập thực hành

  • - Xác định các tọa độ của vectorAB→\overrightarrow{AB}biếtA(1;2;3)A(1;2;3),B(−2;4;0)B(-2;4;0).
  • - Cho ba điểmM(1;0;0)M(1;0;0),N(0;1;0)N(0;1;0),P(0;0;1)P(0;0;1). Hãy xác định hệ trục tọa độ và kiểm tra tính vuông góc từng đôi một của các trục.
  • - ĐiểmQ(0;5;0)Q(0;5;0)thuộc trục nào?
  • - Với điểmS(x;0;0)S(x;0;0)thuộc trục nào? Dấu hiệu nhận biết?
  • - Chỉ ra vị trí và các tọa độ củaOO,AA,BB,CCtrong tứ diệnOABCOABCchuẩn tắc như ví dụ phía trên.

    • 9. Các mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • - Luôn xác định đúng ký hiệu và ý nghĩa hệ toạ độ được sử dụng (chuẩn tắc, không chuẩn tắc).
  • - Không nhầm lẫn giữa các trụcOxOx,OyOy,OzOz; đọc kỹ toạ độ từng điểm.
  • - Đừng quên kiểm tra độ dài vector đơn vị và tính vuông góc từng đôi của các trục.
  • - Nên vẽ hình minh họa để trực quan và kiểm tra lại kết quả.
  • - Khi có phép biến đổi hệ tọa độ, chú ý công thức biến đổi và biểu thức mới.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".