Chiến lược giải quyết bài toán phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài toán tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là một kiến thức trọng tâm trong phần thống kê của chương trình Toán lớp 12. Bài toán này đóng vai trò quan trọng trong việc đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu được trình bày dưới dạng các nhóm hoặc lớp giá trị (còn gọi là bảng tần số ghép nhóm). Việc hiểu rõ cách giải bài toán phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm giúp bạn không chỉ làm tốt các bài kiểm tra, thi THPT Quốc gia mà còn có khả năng phân tích dữ liệu trong thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

3. Tổng thể chiến lược tiếp cận giải bài toán

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử bảng số liệu ghép nhóm như sau:

Lớp giá trị: 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50
Tần số: 3 | 6 | 8 | 3

Bước 1: Xác định giá trị trung tâm của mỗi lớp

Dùng công thức$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$với$a_i$,$b_i$là điểm đầu và cuối của lớp thứ $i$.

Bước 2: Tính trung bình cộng

Tổng số quan sát: $n = 3 + 6 + 8 + 3 = 20$
Công thức tính trung bình cộng:
$<br />\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^k n_i x_i}{n}<br />$
Trong đó $n_i$là tần số của lớp thứ $i$, $x_i$là trung tâm lớp thứ $i$.

Thay số:
$<br />\overline{x} = \frac{3 \times 15 + 6 \times 25 + 8 \times 35 + 3 \times 45}{20} = \frac{45 + 150 + 280 + 135}{20} = \frac{610}{20} = 30,5<br />$

Bước 3: Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tổng quát:
$<br />s^2 = \frac{\sum_{i=1}^k n_i x_i^2}{n} - (\overline{x})^2<br />$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $84,75$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Cho bảng số liệu ghép nhóm:

Lớp: 5–15 | 15–25 | 25–35 | 35–45 | 45–55
Tần số: 2 | 7 | 9 | 5 | 2

• a) Tính trung bình cộng mẫu.
  b) Tính phương sai.

Giải:
- Bước 1: Giá trị trung tâm các lớp: $x_1 = 10$, $x_2 = 20$, $x_3 = 30$, $x_4 = 40$, $x_5 = 50$.
- Bước 2: Tổng tần số: $n = 2 + 7 + 9 + 5 + 2 = 25$.
- Tính $\overline{x}$:
$<br />\overline{x} = \frac{2 \times 10 + 7 \times 20 + 9 \times 30 + 5 \times 40 + 2 \times 50}{25} = \frac{20 + 140 + 270 + 200 + 100}{25} = \frac{730}{25} = 29,2<br />$
- Tính $\sum n_i x_i^2$:
$2 \times 100 + 7 \times 400 + 9 \times 900 + 5 \times 1600 + 2 \times 2500 = 200 + 2800 + 8100 + 8000 + 5000 = 24100$

- Tính phương sai:
$<br />s^2 = \frac{24100}{25} - (29,2)^2 = 964 - 852,64 = 111,36<br />$
Vậy phương sai là $111,36$

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý quan trọng