1. Giới thiệu về bài toán Q1, Q3, IQR và Tầm quan trọng

Các bài toán liên quan đến Q1, Q3, và IQR là phần trọng tâm trong chương toán Thống kê lớp 12. Việc hiểu và thành thạo cách giải bài toán Q1, Q3, IQR không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài kiểm tra, mà còn trang bị kiến thức thực tế về cách phân tích dữ liệu trong đời sống cũng như các lĩnh vực khoa học, kinh tế, xã hội.

Q1 (quartile 1) – tứ phân vị thứ nhất, Q3 (quartile 3) – tứ phân vị thứ ba, IQR (interquartile range) – khoảng tứ phân vị, là những chỉ số thể hiện mức độ phân tán và đặc trưng vị trí trong tập dữ liệu. Đây là cơ sở để nhận diện sự lệch, sự cô lập (outlier) và cấu trúc phân phối của dữ liệu.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán Q1, Q3, IQR

• Dữ liệu có thể là dãy số chưa nhóm (dữ liệu rời rạc) hoặc dữ liệu nhóm (dạng bảng tần số hoặc bảng phân lớp ghép nhóm).
• Phần lớn yêu cầu xác định Q1, Q3, IQR hoặc xác định đặc trưng thống kê như giá trị bất thường dựa vào IQR.
• Bài toán thường gắn với thực tiễn: điểm thi, tiền lương, chiều cao, khối lượng,...
• Việc xác định vị trí phần tử trong dãy là bước then chốt.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán Q1, Q3, IQR

Để giải hiệu quả các bài toán Q1, Q3, IQR, cần tuân thủ các chiến lược tổng quát sau:

• Đọc kỹ đề bài, xác định đúng kiểu dữ liệu: dữ liệu gốc hay dữ liệu ghép nhóm.
• Sắp xếp dữ liệu nếu cần.
• Tính tổng số phần tử ($n$), xác định các vị trí phần tử liên quan đến Q1, Q3.
• Áp dụng đúng công thức và kỹ thuật tương ứng với từng loại dữ liệu.
• Xử lý số lẻ, số chẵn một cách chính xác theo quy tắc lấy trung bình hoặc chọn phần tử ở vị trí tương ứng.

4. Các bước giải quyết bài toán với ví dụ minh họa

A. Dữ liệu chưa ghép nhóm (Dãy số rời rạc)

Ví dụ 1: Cho dãy số liệu: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15. Tính Q1, Q3 và IQR.

- Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần (nếu chưa): 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15.

- Bước 2: Xác định số phần tử:$n = 8$.

- Bước 3: Xác định Q1:

$Q1$là giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{4}$.

$\frac{8+1}{4} = 2.25$(phần tử thứ 2.25)

Vậy Q1 = giá trị ở vị trí thứ 2 cộng$25\%$khoảng cách giữa giá trị thứ 2 và thứ 3:

$Q1 = 5 + 0.25 \times (7 - 5) = 5 + 0.5 = 5.5$

- Bước 4: Xác định Q3:

$Q3 =$giá trị ở vị trí $3\frac{n+1}{4} = 3 \times 2.25 = 6.75$(phần tử thứ 6.75)

$Q3 = 10 + 0.75 \times (12 - 10) = 10 + 1.5 = 11.5$

- Bước 5: Tính IQR:$IQR = Q3 - Q1 = 11.5 - 5.5 = 6$

B. Dữ liệu ghép nhóm (Bảng tần số hoặc bảng phân lớp)

Ví dụ 2: Bảng phân phối tần số khối lượng (kg) của 40 học sinh:

- Bước 1: Tính tổng số học sinh$n = 40$

- Bước 2: Xác định vị trí Q1:$\frac{n}{4} = 10$

Cộng dồn tần số:

- Q1 nằm ở lớp thứ hai (35-<40):

Áp dụng công thức xác định tứ phân vị ở bảng ghép nhóm:

$Q_k = L + \frac{\frac{k \cdot n}{4} - F}{f} \cdot h$

Trong đó:
-$L$là giới hạn dưới của lớp chứa tứ phân vị
-$F$là tần số cộng dồn trước lớp đó
-$f$là tần số lớp chứa tứ phân vị
-$h$là độ rộng lớp
-$k$là thứ bậc (Q1:$k=1$, Q3:$k=3$)

Với Q1:
-$L = 35$-$F = 3$-$f = 7$-$h = 5$

$Q_1=35 + \frac{10 - 3}{7} \cdot 5 = 35 + 5 = 40$

- Q3:$\frac{3n}{4}=30$, nằm trong lớp (40-<45)

Lớp (40-<45):
-$L = 40$-$F = 10$-$f = 15$-$h = 5$

$Q_3 = 40 + \frac{30 - 10}{15} \cdot 5 = 40 + \frac{20}{15} \cdot 5 = 40 + \frac{100}{15} \approx 46,67$

$IQR = Q_3 - Q_1 = 46,67 - 40 = 6,67$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• $Q_1 =$vị trí $\frac{n+1}{4}$;$Q_3 =$vị trí $3\frac{n+1}{4}$(dữ liệu rời rạc, sắp thứ tự)
• $Q_k = L + \frac{\frac{k \cdot n}{4} - F}{f} \cdot h$(dữ liệu ghép nhóm)
• $IQR = Q_3 - Q_1$
• Biến thể: giá trị bất thường (outlier) là giá trị nhỏ hơn$Q_1 - 1.5\,IQR$hoặc lớn hơn$Q_3 + 1.5\,IQR$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Bài toán có thể yêu cầu xác định các giá trị bất thường, xác định số phần tử nằm ngoài một khoảng nhất định dựa vào IQR, hoặc yêu cầu so sánh sự phân tán giữa các dãy số liệu. Khi đó, cần vận dụng thêm các kỹ năng:

• Tạo bảng phụ cho cộng dồn tần số.
• Cẩn thận khi xác định lớp chứa tứ phân vị với bài toán số lượng lớn hoặc lớp không đều.
• Nếu yêu cầu xác định giá trị thực tế (ví dụ: điểm hay cân nặng) nhỏ hơn$Q_1-1.5IQR$hoặc lớn hơn$Q_3+1.5IQR$, tính toán chính xác biên dưới/trên.
• So sánh IQR để nhận định về độ phân tán giữa hai bộ số liệu.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho bảng thống kê điểm kiểm tra của lớp A như sau:

Tính Q1, Q3, IQR và xác định các điểm kiểm tra bất thường (nếu có).

- Tổng số học sinh$n=2+3+6+6+3=20$.

- Xác định vị trí Q1:$\frac{n+1}{4}=\frac{21}{4}=5.25$; Q3:$3\frac{n+1}{4}=3 \times 5.25=15.75$

Phân tích từng vị trí:

- Các giá trị theo thứ tự:
4 (2 HS), 5 (3), 6 (6), 7 (6), 8 (3)

- Vị trí thứ 5: Giá trị 5 (các HS thứ 1-2: 4 điểm; 3-5: 5 điểm), vị trí 0.25 giữa 5 và 6.

$Q_1 = 5 + 0.25 \times (6-5) = 5.25$

- Vị trí 15.75: Các HS từ vị trí 12-17 là điểm 7, tiếp theo là điểm 8.

$Q_3 = 7 + 0.75 \times (8-7) = 7.75$

$IQR=Q_3-Q_1=7.75-5.25=2.5$

- Biên để xác định giá trị bất thường:
$Q_1-1.5IQR=5.25-1.5 \times 2.5=5.25-3.75=1.5Q_3+1.5IQR=7.75+1.5 \times 2.5=7.75+3.75=11.5$

Không có học sinh có điểm kiểm tra bất thường.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho dãy số liệu: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 10. Hãy tính Q1, Q3 và IQR.

2. Bảng phân phối điểm kiểm tra toán lớp 12:

Tính Q1, Q3, IQR và xác định có giá trị điểm bất thường không?

3. Bảng phân phối chiều cao (cm) của 50 học sinh:

Hãy xác định Q1, Q3, IQR.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn sắp xếp dữ liệu rời rạc trước khi xác định Q1 và Q3.
• Tính đúng vị trí phân vị với cả số lẻ và số chẵn phần tử với quy tắc$(n+1)/4$.
• Khi làm bài với bảng ghép nhóm, chú ý xác định đúng tần số cộng dồn và các tham số lớp.
• Nhớ kiểm tra lại kết quả, nhất là các phép trừ khi tính IQR và giá trị bất thường.
• Ghi nhớ công thức và định nghĩa: IQR không bao gồm dữ liệu ngoài lớp phân vị nên dùng công thức cẩn thận khi có biến thể.