Chiến lược giải quyết bài toán: So sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán so sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm

Bài toán về “So sánh kết quả tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) giữa phương pháp máy tính cầm tay và đạo hàm” là dạng toán rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 12. Việc này rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy phân tích, đồng thời giúp tối ưu hóa quá trình giải nhanh trong phòng thi cũng như hiểu sâu hơn bản chất bài toán cực trị.

Tuy nhiên, mỗi phương pháp lại có những ưu nhược điểm riêng. Máy tính giúp giải nhanh trong nhiều trường hợp đặc biệt, nhưng vẫn có những bài toán buộc phải vận dụng đạo hàm. Việc biết so sánh, chọn phương pháp phù hợp sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian, tránh được những sai sót không đáng có.

2. Đặc điểm của loại bài toán so sánh GTLN, GTNN

• Thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi THPT Quốc gia, yêu cầu học sinh tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn hoặc tập xác định.
• Có hai giải pháp chính: dùng đạo hàm để tìm cực trị hoặc sử dụng máy tính cầm tay, đặc biệt tính năng TABLE.
• Một số bài toán yêu cầu phải kiểm chứng, so sánh kết quả giữa hai phương pháp hoặc giải thích sự trùng/khác nhau.
• Có những tình huống máy tính không phát hiện được tất cả nghiệm do cỡ bước nhảy hoặc biểu thức phức tạp, khi đó phương pháp đạo hàm là bắt buộc.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán này

• Bước 1: Phân tích miền xác định, điều kiện của ẩn số.
• Bước 2: Áp dụng phương pháp đạo hàm để tìm các điểm cực trị, sau đó so sánh với các giá trị tại biên.
• Bước 3: Dùng máy tính cầm tay (TABLE, CALC hoặc Solve) để kiểm nghiệm nhanh giá trị GTLN, GTNN.
• Bước 4: So sánh kết quả hai phương pháp, chỉ ra nguyên nhân dẫn đến trùng hoặc khác.
• Bước 5: Chốt đáp án và giải thích lựa chọn.

4. Các bước giải quyết chi tiết (Có ví dụ minh họa)

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$trên đoạn$[0;3]$bằng hai phương pháp.

• Bước 1: Xét miền xác định:$x \in [0;3]$.
• Bước 2: Tìm giá trị tại các điểm biên:
  
  $f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$
  
  $f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$
• Bước 3: Tìm điểm cực trị (phương pháp đạo hàm):
  
  $f'(x) = 3x^2 - 6x$
  
  Giải$3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x( x - 2 ) = 0 \Leftrightarrow x = 0$hoặc$x = 2$.
  
  $x = 0$là biên.$x = 2$thuộc$[0;3]$.
  
  $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$
• Bước 4: Kết luận:
  
  So sánh các giá trị $f(0) = 2$,$f(2) = -2$,$f(3) = 2$
  
  $ightarrow$GTLN là $2$tại$x = 0$và $x = 3$. GTNN là $-2$tại$x=2$.
• Bước 5: Kiểm tra nhanh bằng máy tính cầm tay:
  - Dùng chức năng TABLE nhập$Y1 = x^3 - 3x^2 + 2$, cho$x$chạy từ $0$ đến$3$.
  - Quan sát các giá trị, ta cũng nhận được GTLN =$2$và GTNN =$-2$.
  - Đối chiếu khớp với phương pháp đạo hàm.

Ví dụ 2: So sánh kết quả hai phương pháp khi hàm số có nhiều cực trị trong đoạn

Cho hàm số

Bài này nếu chỉ dùng máy tính với$x$bước nhảy lớn có thể không phát hiện điểm cực trị, do đó cần đạo hàm để chắc chắn.

Thực hiện đạo hàm: $f'(x) = 4x^3 - 6x$, giải $4x^3 - 6x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - \dfrac{3}{2}) = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $x^2 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Cần đối chiếu các giá trị tại biên và các nghiệm đặc biệt. Lúc này sử dụng máy tính để kiểm tra lại GTLN, GTNN thấy kết quả trùng khớp nếu nhập đầy đủ.

Nếu bỏ sót điểm$x=1$thì sẽ đánh mất giá trị $f(1)=0$. Học sinh cần lưu ý kiểm tra tất cả điểm quan trọng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• "Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f(x)$trên đoạn$[a;b]$(liên tục):"
  
  - Tính đạo hàm$f'(x)$, giải$f'(x) = 0$tìm các$x_i$thuộc$[a,b]$.
  - So sánh các giá trị $f(a)$,$f(b)$và $f(x_i)$.
  - GTLN là giá trị lớn nhất, GTNN là giá trị nhỏ nhất.
• Sử dụng máy tính cầm tay:
  - TABLE: Nhập hàm số $f(x)$, kiểm tra các giá trị $x$trong khoảng chia nhỏ (nên chọn bước nhảy nhỏ để không bỏ qua cực trị).
  - CALC: Tính giá trị hàm tại các điểm cụ thể, có thể phối hợp với việc tìm nghiệm đạo hàm.
  - SOLVE: Dùng để giải phương trình$f'(x) = 0$
  - Lưu ý: Máy tính có thể không nhận ra nghiệm nếu bước nhảy lớn hoặc hàm quá phức tạp.

6. Các biến thể phổ biến và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán hàm phân thức, căn thức: Đặc biệt chú ý miền xác định và các điểm không liên tục.
• Bài toán hàm nhiều cực trị: Chia nhỏ bước nhảy khi dùng TABLE, hoặc bắt buộc làm đạo hàm để không bỏ sót nghiệm.
• Hàm đặc biệt (đoạn mở/không liên tục): Dị ứng với máy tính, nên ưu tiên tính giá trị tại các điểm đặc biệt hoặc sử dụng phân tích đạo hàm kết hợp bảng xét dấu.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$trên đoạn$[1;3]$.

Giải:

- Xét biên:
$f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$
$f(3) = 18 - 12 + 1 = 7$

- Đạo hàm:$f'(x) = 4x - 4$,$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$
-$x = 1$ đã là biên, không có cực trị trong$(1,3)$=> Chỉ so sánh hai giá trị biên.

GTLN =$7$tại$x=3$, GTNN =$-1$tại$x=1$.

- Kiểm tra bằng TABLE, cho$x$chạy từ $1$ đến$3$, nhận lại kết quả khớp.

Bài tập 2

Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = \dfrac{x}{x+1}$trên đoạn$[0;2]$.

Giải:
- Miền xác định:$x > -1$(trong$[0;2]$ đều xác định)
- Biên:$f(0) = 0$,$f(2) = \dfrac{2}{3}$
- Đạo hàm:$f'(x) = \dfrac{1(x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$trên$[0;2]$
=> Hàm đồng biến trên$[0;2]$
=> GTLN tại$x=2$:$\dfrac{2}{3}$, GTNN tại$x=0$:$0$
- Kiểm tra trên máy tính cũng cho kết quả như trên.

8. Bài tập thực hành

Học sinh hãy tự thực hiện các bài tập sau, áp dụng cả hai phương pháp, rồi đối chiếu và giải thích kết quả:

1. Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = x^2 - 5x + 6$trên đoạn$[1;4]$.
2. Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = \dfrac{2x+1}{x+2}$trên đoạn$[1;3]$.
3. Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 2$trên đoạn$[0;2]$.
4. So sánh ưu, nhược điểm của hai phương pháp tìm GTLN, GTNN đối với hàm số $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$trên đoạn$[0;2]$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý điều kiện xác định của hàm số trước khi áp dụng bất kỳ phương pháp nào.
• Khi dùng TABLE, nên chọn bước nhảy nhỏ (ví dụ $0.1$hoặc$0.01$) để không bỏ lỡ điểm cực trị.
• Luôn đối chiếu giá trị tại biên và các điểm cực trị trong đoạn.
• Không dựa hoàn toàn vào máy tính cầm tay ở các hàm phức tạp hoặc có điểm không liên tục.
• Khi giải đạo hàm, nhớ kiểm tra các điểm đặc biệt hoặc ngoại lệ theo định nghĩa hàm số.