1. Giới thiệu về bài toán thống kê mô tả và vai trò của nó

Thống kê mô tả là một chủ đề nền tảng trong môn Toán lớp 12, giúp các em có khả năng tóm tắt, xử lý, và rút ra nhận xét từ những tập hợp dữ liệu thực tiễn. Việc hiểu rõ "cách giải bài toán thống kê mô tả" không chỉ giúp các em làm tốt các bài kiểm tra, mà còn áp dụng vào thực tế, phân tích số liệu trong khoa học, kinh tế, xã hội…

2. Đặc điểm của bài toán thống kê mô tả

Bài toán thống kê mô tả thường liên quan đến:

Tổng hợp, trình bày dữ liệu dưới dạng bảng, biểu đồTính các chỉ số đặc trưng: số trung bình, trung vị, mốt (mode), phương sai, độ lệch chuẩn,…Phân tích, so sánh các dãy số liệuTính toán trên mẫu chưa ghép nhóm hoặc mẫu đã ghép nhóm (phân vào các lớp dữ liệu)Rút ra nhận xét từ chỉ số thống kê

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Xác định yêu cầu đề bài: Cần tính chỉ số nào? Cho mẫu dữ liệu dạng gì?Tóm tắt số liệu: Lập bảng tần số, tần suất, bảng ghép nhóm nếu cần.Áp dụng đúng công thức: Sử dụng công thức phù hợp cho dữ liệu chưa ghép nhóm hoặc đã ghép nhóm.Kiểm tra lại kết quả: Kiểm tra tính hợp lý và đơn vị số liệu.Rút ra nhận xét theo yêu cầu của đề.

4. Các bước giải quyết chi tiết – Ví dụ minh họa

Giả sử bạn có bảng điểm kiểm tra Toán của 20 học sinh như sau:

Số điểm: 5, 6, 5, 7, 8, 6, 5, 7, 5, 6, 8, 7, 6, 6, 7, 8, 6, 7, 8, 7Lập bảng tần số:Điểm | Tần số (n)
-----|-------------
5 | 4
6 | 6
7 | 6
8 | 4Tính điểm trung bình cộng (mean):

Công thức:

Áp dụng:

Tìm trung vị (median): Sắp tăng dãy số điểm, chọn điểm ở vị trí thứ (N+1)/2 nếu N lẻ, lấy trung bình hai vị trí giữa nếu N chẵn.

Ở đây, N = 20 (chẵn), vị trí trung vị là số thứ 10 và 11 (xếp thứ tự): Điểm = 6,6, nên trung vị là 6.

Tìm mốt (mode): Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dãy dữ liệu. Ở đây điểm 6 và 7 cùng xuất hiện 6 lần, đều là mốt.Tính phương sai và độ lệch chuẩn:

Công thức:

Áp dụng tính s^2 và s.

Nếu yêu cầu tính khoảng biến thiên (range): Là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ở ví dụ này: khoảng biến thiên = 8 - 5 = 3.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Điểm trung bình cộng: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$Trung vị (Median): \text{Nếu} N \text{lẻ}: x_{\frac{N+1}{2}}, \text{Nếu} N \text{chẵn}: \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2} Mốt (Mode): Giá trị có tần số lớn nhấtPhương sai: $s^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \overline{x})^2}{N}$Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$Khoảng biến thiên:$R = x_{\max} - x_{\min}$Nếu dữ liệu ghép nhóm:
- Trung bình: $\overline{x} = \frac{\sum n_i m_i}{N}$với$m_i$là trung điểm lớp thứ $i$
- Dùng công thức tính trung vị, mốt, phương sai theo từng nhóm

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Dữ liệu chưa ghép nhóm: Áp dụng công thức trực tiếp.Dữ liệu ghép nhóm (chia lớp): Cần lập bảng tần số theo lớp và xác định trung điểm mỗi lớp. Các công thức áp dụng thay$x_i$bằng trung điểm$m_i$của mỗi lớp.Nếu đề yêu cầu vẽ biểu đồ (hình cột, hình quạt): Phân tích kỹ quy tắc vẽ, chia tỷ lệ hợp lý.

7. Bài tập mẫu – Lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Điểm kiểm tra của 15 học sinh là: 4, 5, 6, 4, 7, 5, 7, 5, 8, 7, 6, 7, 5, 4, 7.
Yêu cầu: Lập bảng tần số, tính trung bình cộng, trung vị, mốt, khoảng biến thiên.

Lập bảng tần số:Điểm | Tần số
-----|-------
4 | 3
5 | 4
6 | 2
7 | 5
8 | 1Tính trung bình cộng:Tính trung vị:
Sắp xếp: 4,4,4,5,5,5,5,6,6,7,7,7,7,7,8
Vị trí trung vị:$\frac{15+1}{2}=8$⇒ Trung vị là thành phần thứ 8: 6Mốt: Điểm 7 xuất hiện 5 lần – mốt là 7Khoảng biến thiên:$8-4=4$

8. Bài tập thực hành (Tự luyện)

Điểm của 12 học sinh: 5; 7; 6; 6; 8; 9; 4; 5; 8; 9; 4; 6. Hãy lập bảng tần số, tính các chỉ số đặc trưng.Bảng chiều cao (cm) của 20 bạn trong lớp được chia nhóm: 150–154; 155–159; 160–164; 165–169. Tần số lần lượt: 3; 5; 7; 5. Hãy tính chiều cao trung bình, trung vị (ước lượng), khoảng biến thiên.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

Chắc chắn đọc kỹ đề để xác định dữ liệu đã ghép nhóm hay chưa và dùng công thức cho đúng.Sắp xếp dữ liệu cẩn thận khi tìm trung vị.Khi ghép nhóm, nhớ lấy trung điểm mỗi lớp để tính toán.Trình bày bảng tần số rõ ràng, dễ nhìn.Đừng quên ghi đúng đơn vị cho chỉ số nếu có (cm, điểm, …).