Chiến lược giải quyết bài toán Tích của một số với một vectơ cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán tích của một số với một vectơ

Bài toán "Tích của một số với một vectơ" là một phần cơ bản trong chương trình hình học không gian lớp 12. Loại bài toán này thường xuất hiện ở các đề kiểm tra, đề thi THPT quốc gia và cũng là nền tảng để hiểu sâu hơn về các phép biến đổi hình học, các bài toán về vectơ, hình học giải tích trong không gian. Việc nắm vững chiến lược giải quyết loại bài toán này sẽ giúp học sinh có nền tảng vững chắc khi học các chủ đề nâng cao hơn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán tích của một số với một vectơ

- Dạng toán cơ bản: Cho một vectơ $\vec{a}$và một số thực$k$, tìm vectơ $k\vec{a}$và các tính chất liên quan.

3. Chiến lược tổng thể cách giải bài toán tích của một số với một vectơ

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2; -1; 3)$,$k = -2$. Tính$k\vec{a}$và xác định tọa độ điểm$B$biết điểm$A(1;2;0)$và $\vec{AB} = k\vec{a}$.

x_B = 1 + (-4) = -3,\ y_B = 2 + 2 = 4, \ z_B = 0 + (-6) = -6

Vậy$B(-3; 4; -6)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức nhân một số với vectơ:

k\vec{a} = (k a_1; k a_2; k a_3)

• Tính chất độ dài:

$|k\vec{a}| = |k||\vec{a}| = |k|\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

• Công thức tọa độ điểm theo vectơ:

M \left(x_0 + ka_1; y_0 + ka_2; z_0 + ka_3 \right)là điểm xuất phát từ $M(x_0; y_0; z_0)$, đi k lần theo vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$.

• Kỹ thuật tách vectơ, kết hợp phép cộng vectơ khi xử lý bài toán chia đoạn, thẳng hàng:

$\vec{AB} = k\vec{a} \Rightarrow B = A + k\vec{a}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Biến thể 1: Tìm điểm chia đoạn thẳng phần theo tỷ số $k$

Áp dụng công thức:

M = A + k\vec{AB} =$(x_A + k(x_B - x_A)$; y_A + k$(y_B - y_A)$; z_A + k$(z_B - z_A)$)

• Biến thể 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Kiểm tra xem$\vec{AB}$và $\vec{AC}$có cùng phương hay không, tức là tồn tại$k$sao cho$\vec{AC} = k\vec{AB}$.

• Biến thể 3: Ứng dụng vào giải hệ phương trình tọa độ vectơ

- Chuyển các hệ phương trình liên quan về dạng tích số với vectơ để giải.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Cho$A(1;0;2)$,$B(5;2;-6)$,$C(-3; 8; 4)$. Tìm điểm$M$trên đoạn$AB$sao cho$\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}$. Tính độ dài$\vec{CM}$.

$|\vec{CM}| = \sqrt{\dfrac{256 + 484 + 196}{9}} = \sqrt{\dfrac{936}{9}} = \sqrt{104} \approx 10,2$

Vậy$|\vec{CM}| \approx 10,2$.

8. Bài tập thực hành

a) Cho$\vec{a} = (3; -2; 1)$. Tính$-4\vec{a}$.
b) Cho$A(1; -2; 5)$,$B(4; 2; -1)$. Tìm tọa độ điểm$M$sao cho$\vec{AM} = 0,2\vec{AB}$.
c) Cho ba điểm$A(0;0;0)$,$B(2;3;4)$,$C(4;6;8)$. Chứng minh ba điểm này thẳng hàng.
d) Gọi$A(1;0;0)$,$\vec{a} = (1;2;3)$. Tìm toạ độ điểm$B$sao cho$\vec{AB} = 5\vec{a}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm