Chiến lược giải quyết bài toán Tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai (Lớp 12)

1. Giới thiệu về bài toán 'Tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai'

Bài toán tìm cực trị hàm số bằng đạo hàm cấp hai là một dạng toán phổ biến, quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12. Bài toán yêu cầu xác định giá trị lớn nhất (cực đại), nhỏ nhất (cực tiểu) hoặc điểm cực trị của một hàm số đã cho bằng việc sử dụng tính chất đạo hàm cấp hai, qua đó ứng dụng vào giải toán thực tế và các bài kiểm tra, kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai

- Bài toán thường cho hàm số $y = f(x)$yêu cầu xác định các điểm cực tiểu, cực đại, giá trị cực trị hoặc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng nào đó.

- Đặc điểm nhận biết: Đạo hàm cấp nhất$f'(x)$xuất hiện trong bài toán, yêu cầu giải phương trình$f'(x) = 0$và kiểm tra dấu của đạo hàm cấp hai$f''(x)$ để xác định loại cực trị.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Chiến lược giải quyết bài toán có thể tóm tắt thành các bước sau:

• Tính đạo hàm cấp nhất$f'(x)$của hàm số.
• Giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm nghiệm (các điểm nghi ngờ cực trị).
• Tính đạo hàm cấp hai$f''(x)$tại các nghiệm vừa tìm được.
• Dựa vào dấu của$f''(x)$tại mỗi nghiệm để xác định:
• Nếu$f''(x_0) > 0$thì $x_0$là điểm cực tiểu.
• Nếu$f''(x_0) < 0$thì $x_0$là điểm cực đại.
• Nếu$f''(x_0) = 0$, cần xét thêm các phương pháp khác (bảng biến thiên hoặc đạo hàm bậc cao hơn).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa cụ thể sẽ giúp các em dễ hình dung chiến lược thực tế.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$trên$extbf{R}$. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

• Bước 1: Tính đạo hàm cấp nhất$y' = 3x^2 - 6x$.
• Bước 2: Giải$y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
• Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai$y'' = 6x - 6$.
• Bước 4: Kiểm tra dấu của$y''$tại$x_1=0: y''(0) = -6<0$(cực đại) và tại$x_2=2: y''(2)=6$(cực tiểu).
• Bước 5: Tính giá trị cực đại$y(0)=2$, giá trị cực tiểu$y(2) = 2-12+2 = -2$.

Kết luận: Hàm có cực đại tại$x=0$, giá trị là 2; cực tiểu tại$x=2$, giá trị là -2.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện để $x_0$là điểm cực trị của$y=f(x)$:$f'(x_0) = 0$hoặc không xác định.
• Cực tiểu:$f''(x_0) > 0$; Cực đại:$f''(x_0) < 0$.
• Nếu$f''(x_0) = 0$, cần xét tiếp các đạo hàm bậc cao hơn hoặc dùng bảng biến thiên.
• Cảnh báo:$f'(x_0) = 0$chưa chắc là cực trị, phải kiểm tra kỹ $f''(x_0)$.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Hàm số xác định trên đoạn$[a,b]$: ngoài các điểm cực trị trong$(a,b)$cần xét thêm giá trị tại$a$,$b$.

- Nếu$f''(x_0) = 0$: không kết luận ngay, phải dùng bảng xét dấu$f'(x)$hoặc đạo hàm cấp cao hơn.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu 1: Cho hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 -12x + 7$. Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị.

Giải từng bước:

1. Tính đạo hàm cấp nhất:$y' = 6x^2 - 6x -12$.
2. Giải$y' = 0$:$6x^2 - 6x -12 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x -2 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x_1=2, x_2=-1$.
3. Tính đạo hàm cấp hai:$y'' = 12x - 6$.
4. Tại$x_1=2: y''(2) = 24 - 6 = 18 > 0$(cực tiểu); tại$x_2 = -1: y''(-1) = -12 - 6 = -18 < 0$(cực đại).
5. Tính giá trị cực trị:$y(2) = 16 -12 -24 + 7 = -13$,$y(-1) = -2 -3 +12 +7 = 14$.

Kết luận: Hàm số có cực đại tại$x=-1$, giá trị $14$; cực tiểu tại$x=2$, giá trị $-13$.

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Tìm cực trị của hàm số $y = x^3 - 9x^2 + 15x - 5$.
• Bài 2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm$y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 1$trên đoạn$[0; 3]$.
• Bài 3: Xét tính cực trị của hàm$y = \frac{x}{x^2 + 1}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Không bỏ sót nghiệm của$f'(x)=0$, kể cả nghiệm không xác định.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số (đặc biệt với phân thức, căn ...).
• Nếu$f''(x_0)=0$, đừng vội kết luận, hãy xét bảng biến thiên hoặc tính đạo hàm bậc cao hơn.
• Nhớ kiểm tra thêm giá trị tại các điểm biên khi làm bài toán trên đoạn.

Kết luận

 Hy vọng hướng dẫn trên sẽ giúp các bạn thành thạo cách giải bài toán tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai, giải quyết tốt các bài thi, kiểm tra và ứng dụng cả trong thực tế.