Chiến lược giải quyết bài toán Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm và bảng biến thiên – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm và bảng biến thiên

Bài toán tìm điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm và sử dụng bảng biến thiên là một trong những bài toán trung tâm thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kiểm tra định kỳ và rèn luyện tư duy Toán học lớp 12. Việc nắm vững cách giải bài toán này không những giúp học sinh hiểu sâu về bản chất hàm số mà còn ứng dụng được vào nhiều bài toán khảo sát, hình học, ứng dụng thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Bài toán tìm điểm cực trị lớp 12 có dạng tổng quát: Cho hàm số $y = f(x)$, hãy tìm các điểm cực trị (gồm cực đại, cực tiểu) của hàm số trên miền xác định. Đặc điểm:

• Liên quan đến tính đạo hàm, xác định dấu của đạo hàm.
• Yêu cầu lập bảng biến thiên và đọc thông tin từ bảng biến thiên.
• Thường có các điều kiện xác định của hàm số (với phân thức, căn thức, logarit, ...).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Tìm miền xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm$f'(x)$.
3. Giải phương trình$f'(x) = 0$ để tìm các nghiệm khả dĩ trở thành cực trị.
4. Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của$f'(x)$trên từng khoảng xác định.
5. Xác định điểm cực đại/ cực tiểu dựa vào sự đổi dấu của$f'(x)$.
6. Kết luận và trình bày đáp án rõ ràng.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

1. Bước 1 – Tìm miền xác định:
   Hàm số đã cho là đa thức nên xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.
2. Bước 2 – Tính đạo hàm:
   $y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$
3. Bước 3 – Giải phương trình$y' = 0$:
   
   
   $$3x^2 - 6x = 0 \\$$
   3x(x - 2) = 0 \\x = 0 \\x = 2
4. Bước 4 – Xét dấu$y'$trên các khoảng:
   
   - Trên$(-\infty,0)$chọn$x=-1$:
   $y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$
   - Trên$(0,2)$chọn$x=1$:
   $y'(1) = 3 - 6 = -3 < 0$
   - Trên$(2,+\infty)$chọn$x=3$:
   $y'(3) = 27 - 18 = 9 > 0$
5. Bước 5 – Lập bảng biến thiên và xác định cực trị:
   
   Bảng biến thiên:
   
   | x |$-\infty$| 0 | 2

   $+\infty$
   $y'$

   + | 0 | - | 0 | + |
   |$y$| tăng | CĐ | giảm | CT | tăng |
   
   - Tại$x=0$:$y'$đổi dấu từ$+$sang$-$, hàm đạt cực đại.
   - Tại$x=2$:$y'$đổi dấu từ$-$sang$+$, hàm đạt cực tiểu.
6. Bước 6 – Tính giá trị cực trị:
   
   $y(0) = 0^3 - 3*0^2 + 2 = 2$(Cực đại)
   $y(2) = 8 - 12 + 2 = -2$(Cực tiểu)
   
   Kết luận:
   - Hàm số có cực đại tại$x = 0$,$y = 2$.
   - Hàm số có cực tiểu tại$x = 2$,$y = -2$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện để $x_0$là cực trị:$f'(x_0) = 0$hoặc không xác định, và $f'$ đổi dấu qua$x_0$.
• Nếu$f'(x)$đổi dấu từ$+$sang$-$tại$x_0$, đó là cực đại;
  từ $-$sang$+$là cực tiểu.
• Với hàm phân thức: Phải loại các nghiệm của$f'(x) = 0$không thuộc miền xác định.
• Bảng biến thiên giúp trực quan hóa sự tăng, giảm của hàm số và vị trí cực trị.

6. Một số biến thể và tinh chỉnh chiến lược

• Hàm số có căn, có phân thức, hoặc hàm hợp (logarit/lũy thừa): Đầu tiên cần xác định đầy đủ miền xác định trước khi giải$f'(x) = 0$.
• Trường hợp xuất hiện nghiệm$f'(x) = 0$không thuộc miền xác định của$y$: Loại nghiệm ấy.
• Có thể kết hợp sử dụng đạo hàm cấp hai$f''(x)$ để xác định tính lồi, lõm hoặc kiểm tra cực trị nhanh hơn.
• Có bài yêu cầu tìm tham số $m$ để hàm đạt cực trị tại một điểm xác định: biểu diễn điều kiện cực trị thành phương trình liên quan đến$m$.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 1}$.

1. Bước 1 – Miền xác định: Hàm xác định khi$x \ne 1$.
2. Bước 2 – Tính đạo hàm:
   
   Áp dụng quy tắc đạo hàm phân thức:
   $y' = \frac{(2x - 4)(x - 1) - (x^2 - 4x + 5) \cdot 1}{(x - 1)^2}$
   $= \frac{(2x^2 - 2x - 4x + 4) - (x^2 - 4x + 5)}{(x - 1)^2}$
   $= \frac{2x^2 - 6x + 4 - x^2 + 4x - 5}{(x - 1)^2}$
   $= \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$
3. Bước 3 – Tìm nghiệm $y' = 0$:
   
   x^2 - 2x - 1 = 0 \\
   \Delta = (-2)^2 - 4 \\= 4 + 4 = 8 \\ \Rightarrow x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mi>C</mi><mtext>ả</mtext><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">&lt;br&gt;Cả hai</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">C</span><span class="mord">ả</span><span class="mord mathnormal">hai</span></span></span></span></span>x = 1+\sqrt{2}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>v</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˋ</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">và</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span>x = 1-\sqrt{2}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>đ</mtext><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˋ</mo></mover><mi>u</mi><mi>k</mi><mi>h</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˊ</mo></mover><mi>c</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">đều khác</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.9579em;"></span><span class="mord latin_fallback">đ</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord mathnormal">kh</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">c</span></span></span></span></span>1
   nên đều thuộc miền xác định.
4. Bước 4 – Xét dấu $y'$:
   Tử số là $x^2 - 2x - 1$, mẫu số luôn dương khi $x \ne 1$.
   Lập bảng dấu:
   - $x < 1-\sqrt{2}$: $y' > 0$(tử dương)
   -$1-\sqrt{2} < x < 1$: $y' < 0$
   - $1 < x < 1+\sqrt{2}$: $y' < 0$
   - $x > 1+\sqrt{2}$: $y' > 0$
5. Bước 5 – Lập bảng biến thiên:
   Bảng biến thiên cho thấy:
   - $x = 1-\sqrt{2}$: $y'$ đổi dấu$+$sang$-$, cực đại.
   - $x = 1+\sqrt{2}$: $y'$ đổi dấu$-$sang$+$, cực tiểu.
6. Bước 6 – Tính giá trị cực trị:
   
   $y(1-\sqrt{2}) = \frac{(1-\sqrt{2})^2 - 4(1-\sqrt{2}) + 5}{1-\sqrt{2}-1} = \frac{(1-2\sqrt{2}+2) - 4 + 4\sqrt{2} + 5}{-\sqrt{2}}$
   
   Để lại dạng phân số do sự phức tạp:
7. $y(1-\sqrt{2}) = \frac{8 + 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = -4\sqrt{2} - 2$
   
   $y(1+\sqrt{2}) = \frac{8 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} -2$

Kết luận: Hàm số có cực đại tại $x = 1 - \sqrt{2}$với giá trị $y = -4\sqrt{2} - 2$và cực tiểu tại$x = 1 + \sqrt{2}$với$y = 4\sqrt{2} - 2$.

8. Bài tập thực hành tự rèn luyện

Hãy làm các bài sau theo đúng các bước trên:

• Bài 1: Tìm các điểm cực trị của$y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.
• Bài 2: Tìm các điểm cực trị của$y = \frac{2x}{x^2+1}$.
• Bài 3: Tìm các điểm cực trị của$y = x^4 - 4x^2 + 6$.
• Bài 4: Tìm cực trị của $y = \sqrt{x^2 - 2x + 2}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định chính xác miền xác định của hàm số trước khi xét đạo hàm.
• Cẩn thận loại bỏ các nghiệm$f'(x) = 0$không thuộc miền xác định.
• Ghi chú rõ sự đổi dấu của đạo hàm ở các điểm nghiệm để tránh nhầm giữa cực đại, cực tiểu.
• Bảng biến thiên cần thể hiện rõ mũi tên lên, xuống và giá trị hàm số tại các điểm xét.
• Nên tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị để hoàn chỉnh đáp án.
• Luôn kiểm tra lại các phép đạo hàm phân thức, căn thức, logarit tránh sai sót.