Chiến lược giải quyết bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán tính đơn điệu và cực trị của hàm số

"Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số" là dạng bài trọng tâm đầu tiên khi học khảo sát hàm số bằng đạo hàm ở lớp 12. Đây là nội dung gắn liền với kiến thức đạo hàm và có ứng dụng cao trong giải toán, tối ưu hóa và các bài toán thực tế. Việc thông hiểu giải quyết bài toán này là chìa khóa không chỉ cho điểm phần này trong thi cử mà còn giúp em hiểu rõ bản chất vận dụng đạo hàm về bản chất tăng giảm (đơn điệu) và các điểm đặc biệt (cực trị) của hàm số.

2. Đặc điểm của bài toán tính đơn điệu và cực trị

• Được xây dựng dựa trên khái niệm đạo hàm, xét dấu đạo hàm
• Yêu cầu xác định các khoảng hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến (giảm)
• Yêu cầu chỉ ra các điểm cực trị: cực đại, cực tiểu và tính giá trị cực trị nếu đề yêu cầu
• Có thể kết hợp thêm điều kiện xác định, tính chất đồ thị

Nhìn chung, các dạng bài này kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức đạo hàm, giải phương trình, bất phương trình và kỹ năng vẽ bảng biến thiên.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán tính đơn điệu và cực trị

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm$f'(x)$và tìm các điểm làm cho$f'(x) = 0$hoặc không xác định (nghiệm đạo hàm).
3. Lập bảng xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
4. Dựa vào biến thiên của hàm số suy ra các điểm cực trị; tính giá trị cực trị nếu yêu cầu.
5. Vẽ bảng biến thiên tổng kết kết quả.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy đi theo từng bước với ví dụ hàm số bậc ba:$y = x^3 - 3x^2 + 2$

Bước 1: Xác định tập xác định.

Với hàm đa thức như trên, tập xác định là $D = \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm.

Ta có:$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$

Bước 3: Tìm nghiệm$y' = 0$và lập bảng xét dấu.

$y' = 0 \iff 3x^2 - 6x = 0 \iff x(x-2)=0 \implies x=0,\;x=2$

Bước 4: Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định bởi nghiệm.

Bảng xét dấu:

Chọn các giá trị:$x < 0$; 0 < x < 2; x > 2. Thử dấu$y'$ ở mỗi khoảng:

- Khi$x < 0$:$y' = 3x^2-6x > 0$(do$x^2$lớn hơn$x$ âm, dễ kiểm tra).

- Khi$0 < x < 2$:$y' = 3x^2-6x < 0$(vì $x$dương nhưng$6x$lớn hơn$3x^2$).

- Khi$x > 2$:$y' = 3x^2-6x > 0$(vì $x^2$tăng nhanh hơn$x$).

Kết luận: Hàm số đồng biến trên$(-\infty,0)$, nghịch biến trên$(0,2)$, đồng biến trên$(2,+\infty)$.

Bước 5: Xác định điểm cực trị và giá trị cực trị.

So sánh khi chuyển dấu$y'$tại$x=0$($+$sang$-$):

$\rightarrow$Cực đại tại$x=0$,$y(0)=2$

Tương tự tại$x=2$($-$sang$+$):

$\rightarrow$Cực tiểu tại$x=2$,$y(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$

Tóm tắt bảng biến thiên như sau:

x      | -∞   |   0   |   2   |  +∞
y'     |   +  |   0   |   -   |   0   |     +
y      | ↑    |  CĐ   |  ↓    |  CT   |   ↑
Giá trị|      |  2    |       | -2    |    

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện đồng biến:$f'(x) > 0$trên khoảng đã cho
• Điều kiện nghịch biến:$f'(x) < 0$trên khoảng đã cho
• Điểm cực trị:$f'(x_0) = 0$và $f'(x)$ đổi dấu khi qua$x_0$
• Giá trị cực trị:$f(x_0)$, trong đó $x_0$là điểm cực trị
• Kỹ thuật phân tích dấu: thử dấu đạo hàm ở từng khoảng chia bởi nghiệm

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Hàm phân thức: Xét cả điều kiện xác định (loại mẫu bằng$0$), chú ý tới điểm không xác định
• Hàm căn thức: Điều kiện xác định còn kèm căn thức (mẫu, biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng$0$)
• Hàm chứa tham số: Đạo hàm, giải phương trình/bất phương trình có tham số (cần tách tham số ra bước giải)

7. Bài tập mẫu, lời giải chi tiết từng bước

Bài toán 1: Khảo sát tính đơn điệu và cực trị của hàm số $y = \frac{x^2-2x+3}{x-1}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$(do$x-1 \neq 0$).
2. Tính đạo hàm:
   
   $y' = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+3) \cdot 1}{(x-1)^2}$
   $= \frac{[2x^2-2x-2x+2]-(x^2-2x+3)}{(x-1)^2}$
   $= \frac{2x^2-4x+2-x^2+2x-3}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$
3. Tìm nghiệm đạo hàm: $y' = 0 \iff x^2 - 2x - 1 = 0 \iff x = 1 \pm \sqrt{2}$. (Chỉ lấy nghiệm khác $x=1$.)
4. Xét dấu $y'$trên từng khoảng phân cách bởi các giá trị $x=1-\sqrt{2}$, $x=1$, $x=1+\sqrt{2}$. Lập bảng xét dấu:

Kết quả:

- $y'$dương trên$(-\infty, 1-\sqrt{2})$và $(1, 1+\sqrt{2})$, hàm đồng biến trên các khoảng này.
- $y'$ âm trên$(1-\sqrt{2},1)$và $(1+\sqrt{2}, +\infty)$, hàm nghịch biến trên các khoảng này.
- Cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$; cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$. Giá trị cực trị tương ứng:

$y_{CĐ} = \frac{(1-\sqrt{2})^2 - 2(1-\sqrt{2}) + 3}{1-\sqrt{2}-1} =...$
(tự tính hoặc để nguyên nếu hết thời gian)

8. Bài tập thực hành

• (1) Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.
• (2) Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-2}$.
• (3) Khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số $y = \sqrt{4-x^2}$.
• (4) Với$m$là tham số thực, khảo sát tính đơn điệu và cực trị hàm số $y = x^2 + 2mx + 1$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định tập xác định trước khi xét dấu đạo hàm.
• Không quên loại các nghiệm làm mẫu số đạo hàm bằng$0$hoặc điều kiện xác định.
• Khi lập bảng biến thiên, kiểm tra kỹ xem có điểm ngắt liên tục, điểm không xác định nào không.
• Biết phân tích dấu dựa trên bậc và hệ số trước$x$.
• Nếu đạo hàm không đủ rõ ràng, hãy thử giá trị mẫu để kiểm tra dấu.
• Khi hàm có căn hoặc mẫu, nhớ kiểm tra kỹ hai loại điều kiện xác định.

TỔNG KẾT

Hiểu và vận dụng đúng cách giải bài toán tính đơn điệu và cực trị của hàm số là nền tảng quan trọng cho học sinh lớp 12; không chỉ giúp giải đúng dạng bài tập này mà còn mở rộng tư duy giải quyết các vấn đề liên quan đến hàm số trong chương trình toán THPT và đề thi THPT Quốc gia.