Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán: Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng (Lớp 12)

1. Giới thiệu về bài toán tính góc giữa hai đường thẳng

Bài toán "tính góc giữa hai đường thẳng" là một dạng rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 12, nằm trong chủ đề Hình học không gian. Nội dung này xuất hiện rộng rãi trong các đề kiểm tra, thi học kì và đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia. Việc hiểu và giải tốt loại bài toán này sẽ giúp em có được nền tảng vững chắc về các kỹ năng giải toán hình học không gian, từ đó vận dụng cho nhiều bài toán phức tạp hơn.

2. Đặc điểm và phân loại bài toán

• Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian (lớp 12)
• Đường thẳng cho dưới dạng tham số/vectơ chỉ phương, hoặc qua hai điểm
• Hai đường thẳng có thể cắt nhau, chéo nhau hoặc song song
• Công việc chính: xác định vectơ chỉ phương mỗi đường, áp dụng công thức góc giữa hai vectơ

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán tính góc giữa hai đường thẳng

1. Viết phương trình hoặc xác định vectơ chỉ phương của từng đường thẳng
2. Tìm vectơ chỉ phương$\vec{u}$và $\vec{v}$của hai đường
3. Tính góc giữa$\vec{u}$và $\vec{v}$bằng công thức tích vô hướng
4. Nếu cần, kiểm tra xem hai đường có cắt nhau không để xác định chính xác bài toán

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng trong không gian có phương trình:

$d_1:\ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$$d_2:\ \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-2}$

Yêu cầu: Tính góc giữa hai đường thẳng$d_1$và $d_2$.

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương của$d_1$là $\vec{u}=(2;-1;1)$
Vectơ chỉ phương của$d_2$là $\vec{v}=(1;2;-2)$

Bước 2: Tính tích vô hướng$\vec{u} \cdot \vec{v}$và độ dài hai vectơ

$\vec{u} \cdot \vec{v}=2<em>1+(-1)</em>2+1*(-2)=2-2-2=-2$

$|\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$

$|\vec{v}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

Bước 3: Tính$\cos \theta$bằng công thức:

$\cos \theta=\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{6}*3}=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$

Vậy:

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Nếu hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u}$,$\vec{v}$, thì:
• $\cos \theta=\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
• Trong đó: $\vec{u} \cdot \vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$;
  $|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$;
  Tương tự với $\vec{v}$.
• Góc giữa hai đường thẳng lấy là góc nhọn (bởi vậy trị tuyệt đối ở tử số).
• Kiểm tra hai đường cùng phương (tức song song) khi$\vec{u} = k\vec{v}$.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

Có thể gặp các trường hợp:
- Hai đường thẳng không giao nhau (chéo nhau): góc giữa hai đường vẫn tính bằng hai vectơ chỉ phương
- Hai đường thẳng đồng phẳng, cắt nhau: công thức không thay đổi
- Dạng bài toán khác: tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khi đó dùng công thức khác)
Để giải quyết, luôn xác định chính xác vectơ chỉ phương, không phụ thuộc vị trí tương đối giữa hai đường.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho$d_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$và $d_2: \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}$.
Tính góc giữa hai đường thẳng$d_1$,$d_2$.

Lời giải chi tiết

1. Xác định vectơ chỉ phương:
   $d_1$có vectơ chỉ phương:$\vec{a}=(1;2;-1)$;
   $d_2$có vectơ chỉ phương:$\vec{b}=(2;-1;2)$
2. Tính tích vô hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b}=1<em>2 + 2</em>(-1) + (-1)*2=2-2-2=-2$
3. Tính độ dài:
   $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$
   $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$
4. Tính góc:
   $\cos \theta=\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$
5. $$\Rightarrow \theta=\\arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right)$$

Lưu ý: Có thể đổi thành số thập phân hoặc giữ dưới dạng arccos cho chính xác.

8. Bài tập thực hành

1. Cho$d_1: \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{3}$và $d_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$. Tính góc giữa$d_1$và $d_2$.
2. Cho hai điểm$A(1;0;1), B(2;2;0)$và $C(0;1;2), D(2;1;1)$. Tính góc giữa hai đường thẳng$AB$và $CD$.
3. Kiểm tra hai đường thẳng$d_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$và $d_2: \frac{x}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z}{2}$có song song không? Vì sao?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Cần chú ý lấy trị tuyệt đối tử số khi tính$\cos \theta$ để đảm bảo lấy góc nhọn.
• Kiểm tra kỹ vectơ chỉ phương; đôi khi có thể nhầm lẫn hệ số.
• Nếu hai đường cùng phương (vectơ chỉ phương tỉ lệ), thì hai đường song song, góc giữa chúng là $0^\circ$(hoặc$180^\circ$).
• Với đề bài không cho trực tiếp phương trình, cần tự xác định vectơ chỉ phương (từ hai điểm, hoặc dạng khác).
• Đề bài yêu cầu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cần dùng công thức khác!