Blog

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Tính Nguyên Hàm Của Tổ Hợp Các Hàm Số Lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tính nguyên hàm của tổ hợp các hàm số

Tính nguyên hàm của tổ hợp các hàm số là dạng toán xuất hiện thường xuyên trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt ở chương IV – Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Đây là bước đệm quan trọng giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, áp dụng linh hoạt các kiến thức về hàm số, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải đề thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán tính nguyên hàm của tổ hợp các hàm số

  • Thường xuất hiện dưới dạng tổng, hiệu, tích, thương hoặc hàm hợp các hàm số cơ bản như đa thức, lượng giác, logarit, hàm mũ…
  • Đòi hỏi vận dụng sáng tạo các công thức nguyên hàm, kỹ thuật biến đổi và phương pháp tính khác nhau.
  • Nhiều bài toán đưa ra tổ hợp phức tạp, phải tách hoặc biến đổi về dạng quen thuộc.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán (cách giải bài toán tính nguyên hàm của tổ hợp các hàm số)

  1. Nhận diện các thành phần trong hàm: Xác định xem hàm là tổng, hiệu, tích, thương hay hàm hợp.
  2. Xác định công thức nguyên hàm phù hợp: Liên hệ với bảng nguyên hàm cơ bản.
  3. Áp dụng các kỹ thuật giải: Đổi biến, từng phần, tách thành nhiều nguyên hàm cơ bản.
  4. Kiểm tra lại kết quả, chú ý hệ số, dấu và hằng số C.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính nguyên hàmI=(2x35cosx+3x)dxI = \int (2x^3 - 5\cos x + \dfrac{3}{x}) dx.

  1. Phân tích: Biểu thức là tổng các hàm cơ bản.
  2. Tách thành từng nguyên hàm:
  3. I=2x3dx5cosxdx+3xdxI = \int 2x^3 dx - \int 5\cos x dx + \int \dfrac{3}{x} dx
  4. Tính từng phần:

2x3dx=2x44=x42\int 2x^3 dx = 2 \cdot \dfrac{x^4}{4} = \dfrac{x^4}{2}

5cosxdx=5sinx\int 5\cos x dx = 5\sin x

3xdx=3lnx\int \dfrac{3}{x} dx = 3\ln|x|

Vậy I=x425sinx+3lnx+CI = \dfrac{x^4}{2} - 5\sin x + 3\ln|x| + C.

Ví dụ 2: Tính nguyên hàmJ=xex2dxJ = \int x e^{x^2} dx.

  1. Phân tích: Nhận thấy hàm hợp.
  2. Đặtu=x2u = x^2,du=2xdxxdx=du2du = 2x dx \Rightarrow x dx = \dfrac{du}{2}.
  3. Thay vào:
  4. J=xex2dx=eudu2=12eudu=12eu+CJ = \int x e^{x^2} dx = \int e^u \cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2} \int e^u du = \dfrac{1}{2} e^u + C
  5. Trả lại biến:J=12ex2+CJ = \dfrac{1}{2} e^{x^2} + C

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  1. Bảng nguyên hàm cơ bản:
  • xndx=xn+1n+1+C,(n1)\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, (n \ne -1)
  • 1xdx=lnx+C\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x| + C
  • eaxdx=1aeax+C\int e^{ax} dx = \dfrac{1}{a}e^{ax} + C
  • sinaxdx=1acosax+C\int \sin ax dx = -\dfrac{1}{a}\cos ax + C
  • cosaxdx=1asinax+C\int \cos ax dx = \dfrac{1}{a}\sin ax + C
  • 1a2+x2dx=1aarctanxa+C\int \dfrac{1}{a^2 + x^2} dx = \dfrac{1}{a}\\arctan\dfrac{x}{a} + C
  1. Kỹ thuật đổi biến: Đặtu=g(x)u = g(x)vớidu=g(x)dxdu = g'(x)dx, chuyển nguyên hàm về biếnuu.
  2. Kỹ thuật từng phần:udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du
  3. Tách hàm thành tổng các hàm cơ bản.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

  • Nguyên hàm của tích hai hàm: Thường áp dụng phương pháp từng phần.
  • Nguyên hàm của hàm hợp: Sử dụng phương pháp đổi biến.
  • Nguyên hàm chứa căn thức: Tìm cách biến đổi về hàm đa thức hoặc dùng đổi biếntt.
  • Nếu không nhận ra dạng cơ bản, kiểm tra lại khả năng phân tích, phân tích hàm về tổng, hiệu, tách mẫu, ...

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính nguyên hàm I=(x2+2x+1)sinxdxI = \int (x^2 + 2x + 1)\sin x dx

  1. Nhận xét:(x2+2x+1)=(x+1)2(x^2 + 2x + 1) = (x+1)^2, tận dụng thuận lợi khi giải.
  2. Áp dụng phương pháp từng phần. Đặt u=(x+1)2u = (x+1)^2, dv=sinxdxdv = \sin x dx.
  3. du=2(x+1)dxdu = 2(x+1)dx,v=cosxv = -\cos x
  4. I=uvvdu=(x+1)2cosx+2(x+1)cosxdxI = u v - \int v du = -(x+1)^2 \cos x + \int 2(x+1)\cos x dx
  5. Giải tiếp với2(x+1)cosxdx\int 2(x+1)\cos x dx, tiếp tục từng phần hoặc tách thành2xcosxdx+2cosxdx2\int x\cos x dx + 2\int \cos x dx.
  6. Tổng hợp và rút gọn để có kết quả cuối cùng, đừng quên cộng hằng số CC.

Lời giải hoàn chỉnh:

Đặt u=(x+1)2u = (x+1)^2, dv=sinxdxdu=2(x+1)dxdv = \sin x dx \Rightarrow du = 2(x+1)dx, v=cosxv = -\cos x.

I=(x+1)2cosx+2(x+1)cosxdx\Rightarrow I = -(x+1)^2 \cos x + 2\int (x+1)\cos x dx.

Đối với(x+1)cosxdx\int (x+1)\cos x dx, tiếp tục từng phần hoặc dùng bảng nguyên hàm để giải tiếp.

Cuối cùng, kết hợp các phần và cộng hằng số CC.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Tính nguyên hàm các hàm sau:

  • (3x24x+2)dx\int (3x^2 - 4x + 2) dx
  • x2ex3dx\int x^2 e^{x^3} dx
  • xx2+1dx\int \dfrac{x}{x^2+1} dx
  • 1xlnxdx\int \dfrac{1}{x\ln x} dx
  • (sinx+lnx)dx\int (\sin x + \ln x) dx

2. Tính nguyên hàm(2x+5)ex2+5x+3dx\int (2x+5) e^{x^2 + 5x + 3} dxbằng phương pháp đổi biến.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm thường gặp

  • Cẩn thận khi tách thành phần của hàm số, tránh bỏ sót dấu, hệ số.
  • Không quên cộng hằng số CCsau khi tính nguyên hàm bất định.
  • Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm đáp án để đối chiếu lại đề bài.
  • Luôn nhớ phát hiện và áp dụng kịp thời phép đổi biến hoặc từng phần khi xuất hiện tích, hàm hợp.

Tổng kết

Bài toán tính nguyên hàm của tổ hợp các hàm số không chỉ đòi hỏi nhớ công thức mà còn kỹ năng vận dụng linh hoạt các kỹ thuật biến đổi, đổi biến và phương pháp từng phần. Học sinh nên luyện tập đa dạng các dạng bài để nâng cao tốc độ và độ chính xác khi giải.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".