Chiến lược giải quyết bài toán: Tính phương sai từ bảng tần số (Toán lớp 12)

1. Giới thiệu về bài toán và vai trò quan trọng của phương sai trong thống kê toán học (Lớp 12)

Phương sai là một trong những số đặc trưng quan trọng giúp đo mức độ phân tán của mẫu số liệu trong thống kê. Đặc biệt với bảng tần số – nơi mà mỗi giá trị hoặc mỗi lớp số liệu kèm theo tần số suất hiện – việc tính phương sai cho phép chúng ta hiểu rõ dữ liệu phân bố như thế nào quanh giá trị trung bình. Các bài toán 'Tính phương sai từ bảng tần số' thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán 12, nhất là với chủ đề phân tích dữ liệu, thống kê mô tả. Nắm vững cách giải những bài này là chìa khoá để làm tốt các bài kiểm tra và kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm bài toán: Phân loại và nhận diện bảng tần số

Các bài toán tính phương sai từ bảng tần số có thể phân thành hai dạng chính:

• Bảng tần số với giá trị đơn (dữ liệu rời rạc): các giá trị $x_i$kèm tần số $n_i$.
• Bảng tần số ghép nhóm (dữ liệu liên tục): các lớp (khoảng) và tần số; khi đó, thường dùng điểm giữa lớp$x_i$ để tính toán.

Dữ liệu luôn có dạng bảng như sau:

| Giá trị hoặc lớp số liệu$x_i$
Tần số $n_i$
...
... |

Nhiệm vụ là: Sử dụng các tần số và giá trị/lớp để tính phương sai theo đúng công thức.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Khi gặp bài toán yêu cầu tính phương sai từ bảng tần số, hãy làm theo các bước chiến lược sau:

1. Nhận biết dạng bảng tần số (giá trị đơn hay ghép nhóm), xác định rõ từng$x_i$và $n_i$.
2. Tính số điểm tổng cộng $N = \sum n_i$.
3. Tính giá trị trung bình$\overline{x}$.
4. Tính $\sum n_i x_i^2$.
5. Áp dụng công thức phương sai cho bảng tần số.

4. Các bước giải bài toán tính phương sai từ bảng tần số: Ví dụ minh họa từng bước

Giả sử bảng tần số dữ liệu rời rạc như sau:

| Giá trị $x_i$| 2 | 3 | 4 
5
Tần số $n_i$
1 | 3 | 4 | 2 |

Các bước cụ thể như sau:

1. Tính tổng số quan sát:
   $N = 1+3+4+2 = 10$
2. Tính $\overline{x}$:
   $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N} = \frac{1 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 4 + 2 \times 5}{10} = \frac{2 + 9 + 16 + 10}{10} = \frac{37}{10} = 3.7$
3. Tính $\sum n_i x_i^2$:
   $\sum n_i x_i^2 = 1 \times 2^2 + 3 \times 3^2 + 4 \times 4^2 + 2 \times 5^2 = 1 \times 4 + 3 \times 9 + 4 \times 16 + 2 \times 25 = 4 + 27 + 64 + 50 = 145$
4. Áp dụng công thức phương sai:
   $s^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \overline{x}^2 = \frac{145}{10} - (3.7)^2 = 14.5 - 13.69 = 0.81$

Kết luận: Phương sai của bảng dữ liệu trên là $s^2 = 0.81$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức tính phương sai từ bảng tần số:
$s^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \left( \overline{x} \right)^2$
Trong đó:
$N = \sum n_i$, $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$, $\sum n_i x_i^2$ là tổng của tích tần số nhân bình phương giá trị/lớp.

- Với bảng ghép nhóm (dữ liệu liên tục), hãy lấy điểm giữa mỗi lớp$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$, trong đó $[a_i, b_i]$là khoảng lớp; sau đó làm các bước như bảng giá trị đơn.

6. Biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu đề bài cho bảng ghép nhóm (theo lớp), phải tính điểm giữa lớp để thay thế $x_i$.
• Nếu yêu cầu tính độ lệch chuẩn, hãy lấy căn bậc hai của phương sai: $s=\sqrt{s^2}$
• Nếu cho bảng tần suất thay vì tần số, nhân thêm tổng số mẫu để chuyển đổi.

7. Bài tập mẫu: Lời giải chi tiết từng bước

Cho bảng dữ liệu sau (bảng ghép nhóm):

| Khoảng lớp | [10;20) | [20;30) 
[30;40)
Tần số
2    |   5    |   3    |

Các bước giải:

1. Tính điểm giữa mỗi lớp:
   $[10;20)$:$x_1 = \frac{10+20}{2}=15$;$[20;30)$:$x_2=25$;$[30;40)$:$x_3=35$
2. Tổng số mẫu:$N=2+5+3=10$
3. Tính $\sum n_i x_i$: $2 \times 15 + 5 \times 25 + 3 \times 35 = 30+125+105=260$
4. Tính$\overline{x} = \dfrac{260}{10} = 26$
5. Tính $\sum n_i x_i^2$: $2 \times 225 + 5 \times 625 + 3 \times 1225 = 450+3125+3675=7250$
6. Áp dụng công thức phương sai:
   $s^2 = \frac{7250}{10} - 26^2 = 725 - 676 = 49$

Kết luận: Phương sai của bảng trên là $s^2 = 49$.

8. Bài tập thực hành

Bạn hãy tự luyện với các bảng sau và trình bày lời giải chi tiết từng bước như hướng dẫn trên:

1. Bài 1: Cho bảng tần số:
   | x | 1 | 2 | 3

   4
   n

   2 | 4 | 3 | 1 |
2. Bài 2: Cho bảng ghép nhóm:
   | Khoảng | [0;10) | [10;20)

   [20;30)
   n

   3 | 5 | 2 |

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

• Đừng quên tính đúng tổng số mẫu$N$– nếu sai sẽ khiến các kết quả sai hết.
• Với bảng ghép nhóm, PHẢI dùng điểm giữa lớp, không dùng rìa khoảng.
• Tính từng bước rõ ràng, đặc biệt khi tính $\sum n_i x_i^2$.
• Hãy kiểm tra lại đáp số – phương sai luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
• Ghi chú công thức ra giấy nháp để tránh nhầm lẫn các giá trị.

Kết luận

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững cách giải bài toán tính phương sai từ bảng tần số, hiểu và vận dụng được các công thức, tránh được lỗi hay gặp nhằm luyện thi hiệu quả. Liên tục luyện bài tập sẽ giúp bạn thành thạo, tự tin khi gặp mọi dạng đề về phương sai trong Toán 12.