Chiến lược giải quyết bài toán: Tính tích vô hướng của hai vectơ – Hướng dẫn toàn diện cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán tính tích vô hướng của hai vectơ

Bài toán về tính tích vô hướng của hai vectơ là một phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi THPT quốc gia cũng như các bài toán thực tiễn (Tính cosin, tìm góc, tính công cơ học,...). Việc thành thạo cách giải bài toán tích vô hướng sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi làm các dạng bài liên quan đến vectơ trong không gian, hình học không gian cũng như các ứng dụng trong vật lý.

2. Đặc điểm của bài toán tích vô hướng hai vectơ

• Dữ kiện có thể cho toạ độ hai vectơ hoặc hai điểm tạo thành vectơ.
• Đề có thể yêu cầu tính trực tiếp tích vô hướng hoặc qua các phép biến đổi hình học.
• Bài toán có thể kết hợp kiến thức hình học (góc giữa hai vectơ, hình chiếu,...).

Trước khi giải, cần nhận diện đề bài cung cấp các dạng dữ liệu gì (toạ độ, độ dài, góc, v.v.).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán tích vô hướng

• Xác định rõ hai vectơ (theo toạ độ hoặc từ các điểm).
• Tìm cách biểu diễn các vectơ dưới dạng toạ độ nếu có thể.
• Sử dụng công thức chính xác để tính tích vô hướng.
• Dịch chuyển vectơ về gốc toạ độ nếu đề bài cần biểu diễn hình học.
• Kiểm tra các điều kiện tồn tại (về góc, độ dài, kết quả có thể âm hoặc dương).

4. Các bước giải bài toán – Ví dụ minh họa chi tiết

Bước 1: Xác định toạ độ các vectơ.

Bước 2: Viết công thức tích vô hướng.

Bước 3: Thay số, tính toán cẩn thận.

Bước 4: Kiểm tra hợp lý kết quả $(lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị âm/dương)$.

Ví dụ minh họa

Cho$\vec{a} = (2;3;-1)$và $\vec{b} = (1;0;4)$.Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Theo công thức:

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2<br />$

Thay số ta được:

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 = 2 + 0 -4 = -2<br />$

Kết luận:$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức tính tích vô hướng hai vectơ:

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2<br />$

hoặc theo định nghĩa hình học:

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi<br />$

• Với hai điểm$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$:$\vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.
• Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
• Tính góc giữa hai vectơ:$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Cho các điểm A, B, C → Tìm tích vô hướng$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$: Hãy xác định toạ độ của$\vec{AB}$,$\vec{AC}$rồi áp dụng công thức tích vô hướng.
• Tính góc giữa hai vectơ: Dùng liên hệ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi$ để tìm$\varphi$.
• Bài toán yêu cầu điều kiện vuông góc:$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.
• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

7. Bài tập mẫu, lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho$A(1;2;3), B(3;-1;0), C(2;4;1)$. Tính tích vô hướng$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Giải:

Bước 1:$\vec{AB} = (3-1, -1-2, 0-3) = (2, -3, -3)$

Bước 2:$\vec{AC} = (2-1, 4-2, 1-3) = (1,2,-2)$

Bước 3:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = 2 -6 +6 = 2$

Vậy$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2$.

8. Bài tập tự luyện

• Bài 1: Cho$\vec{a} = (3, -2, 1)$,$\vec{b} = (1, 0, 2)$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.
• Bài 2: Cho$A(2, 0, -1), B(1, 3, 4), C(-2, 2, 5)$. Tính$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
• Bài 3: Cho$\vec{u} = (x, 2, 3)$và $\vec{v} = (1, -1, 4)$. Tìm$x$để$\vec{u}$và $\vec{v}$vuông góc.
• Bài 4: Cho hai vectơ $\vec{a}$,$\vec{b}$ đều có độ dài 3, góc giữa chúng bằng$60^\circ$. Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

9. Mẹo giải nhanh – Lưu ý tránh sai sót

• Luôn chuyển tất cả các vectơ về dạng toạ độ trước khi tính toán.
• Chú ý dấu khi tính toạ độ và khi nhân các thành phần.
• Kiểm tra điều kiện đặc biệt: Hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng bằng 0.
• Trong trường hợp tính góc giữa hai vectơ, nhớ kiểm tra giá trị $\cos \varphi$phải nằm trong [$-1, 1$].
• Tích vô hướng có thể nhận giá trị âm, dương hoặc bằng 0.

Tóm tắt chiến lược "cách giải bài toán tính tích vô hướng của hai vectơ"

Nắm chắc công thức tổng quát, làm chủ cách chuyển đổi dạng dữ kiện đề bài, thận trọng khi tính toán và chú ý các trường hợp đặc biệt là chìa khóa thành công với loại bài toán này. Trang bị kỹ càng các chiến lược và luyện tập nhiều, bạn sẽ vững vàng khi giải mọi dạng bài tích vô hướng trong đề thi Toán lớp 12!