Chiến lược giải quyết bài toán Tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Tính tích vô hướng của hai vectơ

Tính tích vô hướng của hai vectơ là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở phần Hình học không gian. Đây là kiến thức nền tảng để học sinh giải nhiều loại bài toán như xác định góc giữa hai vectơ, xác định độ dài, tìm phương trình mặt phẳng, đường thẳng, và giải các bài toán ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật.

2. Đặc điểm của kiểu bài toán Tính tích vô hướng

Các bài toán về tích vô hướng thường yêu cầu tính tích vô hướng giữa hai vectơ khi biết tọa độ, tìm góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc hoặc song song, hoặc sử dụng tích vô hướng để giải các bài toán phức tạp hơn về hình học không gian.

• Biết tọa độ hai vectơ, yêu cầu tính tích vô hướng.
• Tìm góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng.
• Kiểm tra hai vectơ có vuông góc không.
• Ứng dụng tích vô hướng vào các bài toán hình học không gian như tìm phương trình mặt phẳng, chứng minh các điểm thẳng hàng, đồng phẳng, v.v.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán "Tính tích vô hướng của hai vectơ", học sinh nên làm theo các bước sau:

1. Phân tích đề bài: Xác định rõ yêu cầu - tính tích vô hướng, tìm góc, hoặc kiểm tra liên hệ giữa hai vectơ.
2. Tìm tọa độ của các vectơ liên quan hoặc xác định các đặc điểm hình học khác (độ dài, góc, phương, v.v.).
3. Áp dụng công thức tích vô hướng phù hợp.
4. Thực hiện các phép biến đổi đại số, lượng giác nếu cần để đi đến đáp số cuối cùng.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng tìm hiểu cách giải chi tiết thông qua một ví dụ cụ thể:

Bước 1: Xác định tọa độ hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$.

Bước 2: Áp dụng công thức tích vô hướng:

Bước 3: Thay số:

Vậy$\vec{a} \cdot \vec{b} = -8$.

5. Công thức & kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát: Nếu$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$và $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• Công thức theo góc:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos \alpha$, với$\alpha$là góc giữa hai vectơ.
• Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$.
• Điều kiện hai vectơ vuông góc:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

6. Các biến thể bài toán & điều chỉnh phương pháp

Một số biến thể thường gặp kèm gợi ý phương pháp:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=-8$ " title="Hình minh họa: Biểu đồ cột minh họa tích thành phần của hai vectơ \vec{a}=(2; -1; 3) và \vec{b}=(1; 4; -2) với các tích 2×1=2, (-1)×4=-4, 3×(-2)=-6 và tổng vô hướng $\vec{a}\cdot\vec{b}=-8$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

• Bài toán cho điểm$A, B, C$(hoặc nhiều điểm), yêu cầu tính tích vô hướng giữa hai vectơ có điểm đầu-cuối là các điểm cho. Dạng này cần tính tọa độ vectơ từ hai điểm đã biết.
• Bài toán tìm góc giữa hai vectơ: Sau khi tính tích vô hướng và độ dài từng vectơ, sử dụng công thức$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$.
• Kiểm tra sự vuông góc: Chỉ cần thay tọa độ vào công thức tích vô hướng và kiểm tra kết quả có bằng 0 không.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết theo từng bước

Bước 1: Tìm tọa độ các vectơ.

Bước 2: Áp dụng công thức tích vô hướng:

Kết luận:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -1$.

8. Bài tập tự luyện (tự làm)

• Bài 1: Cho hai vectơ $\vec{u} = (5; -3; 2)$và $\vec{v} = (1; 2; -4)$. Tính$\vec{u} \cdot \vec{v}$.
• Bài 2: Cho$D(0;1;2)$,$E(2;-1;0)$,$F(1;3;4)$. Tính tích vô hướng$\vec{DE} \cdot \vec{DF}$.
• Bài 3: Cho$\vec{a} = (2; 1; -2)$,$\vec{b} = (k; 4; 3)$, biết$\vec{a}$và $\vec{b}$vuông góc. Tìm$k$.

9. Mẹo và lưu ý khi tính tích vô hướng

• Bình tĩnh xác định chính xác tọa độ của từng vectơ trước khi tính toán.
• Cẩn thận với dấu khi lấy hiệu tọa độ hoặc tính tích vô hướng.
• Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay ngược để tránh các sai sót nhỏ.
• Nếu đề yêu cầu tính góc, nhớ dùng chức năng
  $$\\arccos$$
  để tìm góc từ$\cos \alpha$.
• Đối với dạng chứng minh vuông góc hoặc song song, chỉ cần chứng minh tích vô hướng bằng$0$(vuông góc) hoặc các vectơ cùng phương (tỷ lệ các thành phần bằng nhau).

Hy vọng với chiến lược chi tiết trên, các em sẽ thành thạo cách giải bài toán tính tích vô hướng của hai vectơ, từ đó tự tin áp dụng vào các bài toán hình học không gian và các dạng đề thi quan trọng!