Chiến lược giải quyết bài toán Tính tích vô hướng của hai vectơ - Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Tính tích vô hướng của hai vectơ

Tính tích vô hướng của hai vectơ là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong cả hình học và vật lý, giúp học sinh hiểu sâu hơn về quan hệ không gian của các vectơ, đồng thời là bước đệm cho các bài toán nâng cao liên quan đến góc giữa hai vectơ, ứng dụng vào giải phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian. Việc thành thạo các cách giải bài toán tính tích vô hướng của hai vectơ sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các đề thi quan trọng ở bậc THPT, đặc biệt là trong kỳ thi THPT quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán tính tích vô hướng

- Dữ liệu thường cho dưới hai dạng:

• - Hai vectơ được cho bởi tọa độ trong không gian hoặc mặt phẳng.
• - Cho độ dài các vectơ và góc xen giữa, hoặc thông tin liên quan đến các góc/vuông góc/đồng phẳng.

- Yêu cầu: Tính tích vô hướng dựa trên thông tin được cung cấp, có thể cần tìm tọa độ các vectơ hoặc sử dụng các tính chất hình học để tính toán.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết bài toán tính tích vô hướng của hai vectơ, bạn nên thực hiện theo trình tự sau:

1. Xác định dạng đề cho: vectơ theo tọa độ hay thông qua các yếu tố hình học (góc, độ dài).
2. Nếu là dạng tọa độ, hãy viết cụ thể tọa độ từng vectơ.
3. Nếu dạng hình học, áp dụng công thức tích vô hướng theo độ dài và góc kèm theo (nếu cần, tính toán thêm tọa độ).
4. Sử dụng các công thức liên quan để chuyển đổi giữa dạng hình học và tọa độ.
5. Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo các bước tính toán đều logic, chính xác.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ giải bài toán theo hai trường hợp thường gặp:

• Trường hợp 1: Biết tọa độ các vectơ
• Trường hợp 2: Biết độ dài các vectơ và góc xen giữa

Ví dụ minh họa từng trường hợp:

a) Trường hợp 1: Biết tọa độ các vectơ

Ví dụ: Cho$\vec{a} = (2, -3, 4)$và $\vec{b} = (1, 0, -2)$. Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Giải: Sử dụng công thức tích vô hướng theo tọa độ:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Thay số:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + (-3) \times 0 + 4 \times (-2) = 2 + 0 - 8 = -6$

b) Trường hợp 2: Biết độ dài và góc xen giữa

Ví dụ: Cho$|\vec{a}| = 5$,$|\vec{b}| = 8$và góc giữa hai vectơ là $60^\circ$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Áp dụng công thức:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$

Với$\theta = 60^\circ$,$\cos60^\circ = 0{,}5$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 8 \times 0{,}5 = 20$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức tổng quát của tích vô hướng trong không gian:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

- Dạng tổng quát theo góc xen giữa:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$

- Độ dài của vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

- Khi hai vectơ vuông góc,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Vectơ được biểu diễn bằng điểm xác định: với$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

- Bài toán có dữ liệu ẩn: Phải tính độ dài vectơ thông qua các điểm hoặc dữ liệu khác, rồi mới áp dụng công thức tích vô hướng.

- Tìm góc giữa hai vectơ: Khi biết tích vô hướng và độ dài các vectơ, sử dụng:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho$A(1, 2, 3)$,$B(4, 5, 6)$,$C(2, 2, 2)$. Tính tích vô hướng hai vectơ $\vec{AB}$và $\vec{AC}$.

1. Tìm toạ độ $\vec{AB}$và $\vec{AC}$:
   $\vec{AB} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)$
   $\vec{AC} = (2-1, 2-2, 2-3) = (1, 0, -1)$
2. Tính tích vô hướng:
   $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 1 + 3 \times 0 + 3 \times (-1) = 3 + 0 - 3 = 0$
3. Kết luận: Hai vectơ $\vec{AB}$và $\vec{AC}$vuông góc.

8. Bài tập thực hành

• 1) Cho$\vec{a} = (1, 2, -1)$,$\vec{b} = (2, 0, 3)$. Hãy tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.
• 2) Cho$|\vec{a}| = 10$,$|\vec{b}| = 6$và góc giữa$\vec{a}$và $\vec{b}$là $120^\circ$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.
• 3) Cho$P(1,1,2)$,$Q(2,2,3)$,$R(-1,0,1)$. Hãy tính$\vec{PQ} \cdot \vec{PR}$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận dấu trong các phép trừ khi tính vectơ từ hai điểm.
• Không nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng (tích vectơ).
• Kiểm tra kết quả xem có phù hợp với các tính chất như vuông góc hoặc song song không.
• Luôn đổi đơn vị góc về radian nếu máy tính hoặc đề bài yêu cầu.
• Ghi nhớ các công thức cơ bản, làm nhiều bài tập để tăng khả năng nhận diện dạng bài.