Blog

Chiến lược giải quyết bài toán tối ưu hóa hình học lớp 12: Từ lý thuyết đến thực hành

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán tối ưu hóa hình học và tầm quan trọng

Bài toán tối ưu hóa hình học là dạng toán đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó (chẳng hạn như diện tích, thể tích, độ dài, bán kính,...) trong điều kiện xác định. Đây là một trong những dạng bài quan trọng và thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia cũng như trong các bài kiểm tra định kỳ của lớp 12.

Việc hiểu và giải tốt các bài toán tối ưu hóa hình học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng vận dụng kiến thức mà còn áp dụng được ngay vào các bài toán thực tế trong đời sống.

2. Đặc điểm của bài toán tối ưu hóa hình học

  • Luôn có hai yếu tố: một đại lượng hình học cần tối ưu (tối đa hoặc tối thiểu) và các ràng buộc về hình học.
  • Các đại lượng thường gặp: diện tích, thể tích, độ dài, chu vi, bán kính...
  • Thường phải biểu diễn đại lượng cần tối ưu dưới dạng một hàm số của biến duy nhất hoặc hai biến.
  • Bài toán đôi khi liên hệ chặt chẽ với chương trình hàm số, đạo hàm và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán tối ưu hóa hình học

  1. Đọc kỹ đề, xác định đại lượng cần tối ưu và các điều kiện ràng buộc.
  2. Dựng hình (nếu cần), đánh dấu các yếu tố liên quan.
  3. Chọn các biến thích hợp để biểu diễn các đại lượng trong bài.
  4. Biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm số phụ thuộc vào biến đã chọn.
  5. Sử dụng các điều kiện ràng buộc để đưa về hàm một biến.
  6. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó bằng đạo hàm hoặc biến đổi đại số.
  7. Kiểm tra điều kiện xác định và đối chiếu với bài toán gốc.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật có chu vi là 2020cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật để diện tích lớn nhất.

  1. Bước 1. Đặt biến và xác định điều kiện:

    - Gọi chiều dài là xx, chiều rộng là yy.
    - Ta có:2(x+y)=20x+y=102(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10; điều kiện xác định:x>0,y>0x > 0, y > 0.
  2. Bước 2. Biểu diễn diện tích cần tối ưu:

    -S=xyS = x \cdot y
  3. Bước 3. Sử dụng điều kiện để đưa về một biến:

    -y=10xy = 10 - x
    -S=x(10x)=10xx2S = x(10 - x) = 10x - x^2
  4. Bước 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàmS(x)=10xx2S(x) = 10x - x^2với0<x<100 < x < 10:

    - Đạo hàm:S(x)=102xS'(x) = 10 - 2x
    - ChoS(x)=0x=5S'(x) = 0 \Rightarrow x = 5
  5. Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kiểm tra biên:

    - Vớix=5x = 5,y=5y = 5(đều dương thoả mãn điều kiện)
    - Vậy diện tích lớn nhất khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh55cm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Đạo hàm và tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Nếuf(x0)=0f'(x_0) = 0x0x_0nằm trong miền xác định thì kiểm traf(x0)f(x_0)và giá trị tại các biên.

- Chu vi, diện tích các hình quen thuộc:

  • Hình chữ nhật:S=xyS = x \cdot y,P=2(x+y)P = 2(x + y)
  • Hình tròn:S=πr2S = \pi r^2,C=2πrC = 2\pi r
  • Thể tích hình hộp chữ nhật:V=xyzV = x \cdot y \cdot z

- Nếu biểu thức đội biến khó, hãy thử đặt ẩn trung gian hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức AM-GM.

6. Biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Bài toán tối ưu hóa có nhiều biến hơn: Đa số chuyển về một biến bằng điều kiện ràng buộc.
  • Tối ưu hình trong không gian (ví dụ thể tích tối đa của khối hộp dựng trong mặt cầu): Cần biểu diễn đủ các tham số hình học.
  • Kết hợp bất đẳng thức: Dùng AM-GM hoặc Cauchy khi hàm không khả vi hoặc đưa về dạng tích-giá trị cố định.
  • Bài toán thực tế: Chuyển đổi từ dữ kiện thực tế sang ngôn ngữ toán học (bán kính, đường cao, v.v.)

7. Bài tập mẫu với lời giải từng bước

Bài tập. Trong các hình trụ có tổng diện tích toàn phần bằng150π150\picm2^2, tìm bán kính đáy để thể tích hình trụ lớn nhất.

  1. Bước 1. Đặt bán kính đáyrr(cm), chiều caohh(cm).
  2. Diện tích toàn phần:Stp=2πr2+2πrh=150πr2+rh=75S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 150\pi \Rightarrow r^2 + r h = 75
  3. Thể tích:V=πr2hV = \pi r^2 h.
  4. Từ r2+rh=75h=75r2rr^2 + r h = 75 \Rightarrow h = \frac{75 - r^2}{r}
  5. Thay vàoVV:V=πr2(75r2r)=πr(75r2)=75πrπr3V = \pi r^2 \cdot \left( \frac{75 - r^2}{r} \right) = \pi r (75 - r^2) = 75\pi r - \pi r^3
  6. Xét 0<r<758,660 < r < \sqrt{75} \approx 8,66(vì h>0h > 0)
  7. Lấy đạo hàm:V(r)=75π3πr2V'(r) = 75\pi - 3\pi r^2;V(r)=0r2=25r=5V'(r) = 0 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5(vì bán kính dương)
  8. Thử biên và kiểm tra điều kiện,r=5r = 5hợp lý.
  9. Vậy thể tích lớn nhất khi bán kính đáy là 55cm.

8. Bài tập thực hành tự luyện

  • Bài 1: Trong các tam giác có chu vi bằng2424cm, hãy tìm tam giác có diện tích lớn nhất.
  • Bài 2: Trong các hình hộp chữ nhật có tổng chiều dài, chiều rộng, chiều cao bằng1212cm, hãy tìm hình có thể tích lớn nhất.
  • Bài 3: Cho một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích100100m2^2, muốn xây một chuồng gà gồm ba ngăn như hình (2 vách ngăn song song với chiều rộng, gợi ý: dùng phương pháp đặt biến và ràng buộc). Tìm kích thước để chiều dài rào nhỏ nhất.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định của biến sau khi tìm giá trị tối ưu.
  • Đừng quên thử cả giá trị tại các điểm biên (nếu có).
  • Khi bài liên quan đến nhiều biến, phải dùng ràng buộc để đưa về một biến duy nhất.
  • Đọc kỹ đề, tránh bỏ lỡ chi tiết quan trọng về điều kiện hoặc hình học.
  • Chọn đúng công thức theo đối tượng hình học và kiểm tra các công thức cơ bản thật chắc chắn.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".