Chiến lược giải quyết bài toán Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 12: Phương pháp, ví dụ, bài tập và lưu ý

1. Giới thiệu về bài toán tổng và hiệu của hai vectơ

Bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong chương II – Vectơ và hệ tọa độ trong không gian. Việc nắm vững cách giải dạng bài này giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc để giải quyết các vấn đề về hình học không gian, hệ tọa độ, thậm chí ứng dụng trong các bài toán thực tiễn và các kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán tổng và hiệu hai vectơ

Các bài toán tổng và hiệu của hai vectơ thường yêu cầu học sinh:
- Biểu diễn tổng/hiệu của hai vectơ bằng hình học hoặc tọa độ;
- Tính độ dài tổng/hiệu, chứng minh hệ thức hoặc giải các bài toán ứng dụng;
- Sử dụng các phép toán cơ bản (cộng, trừ, nhân với số) kèm kiến thức về hệ trục tọa độ Oxyz hoặc Ox, tùy yêu cầu bài.
Điểm chung là học sinh cần nắm công thức, các thao tác vectơ, hiểu bản chất hình học và kỹ thuật tính toán trong trường hợp tọa độ.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Hiểu rõ yêu cầu (tìm tổng/hiệu, chứng minh hệ thức, tính độ dài, giải các bài toán hình học).Biểu diễn các vectơ dưới dạng hình học hoặc tọa độ (tùy bài toán yêu cầu).Áp dụng các công thức cộng, trừ vectơ (cả hình học và tọa độ).Tính toán cụ thể hoặc lý luận hình học phù hợp.Kiểm tra kết quả hoặc chứng minh mệnh đề được yêu cầu.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$trong không gian Oxyz với tọa độ $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$,$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$.

Ví dụ 1: Cộng hai vectơ trong hệ tọa độ

Cho$\vec{a} = (2, -1, 3)$và $\vec{b} = (-1, 4, 2)$. Tính$\vec{a} + \vec{b}$và $\vec{a} - \vec{b}$.

Giải:

Tổng hai vectơ được tính từng thành phần:
$\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), -1 + 4, 3 + 2) = (1, 3, 5)$
Hiệu hai vectơ:
$\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), -1 - 4, 3 - 2) = (3, -5, 1)$

Ví dụ 2: Tính độ dài vectơ tổng/hiệu

Tính độ dài$|\vec{a} + \vec{b}|$với$\vec{a} = (2, 1, -2)$,$\vec{b} = (1, -3, 4)$.

Giải:
Tổng:
$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 1, 1 + (-3), -2 + 4) = (3, -2, 2)$
Độ dài:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}$

Ví dụ 3: Ứng dụng vào hình học không gian

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', với$A(0,0,0)$,$B(1,0,0)$,$D(0,1,0)$,$A'(0,0,1)$. Tính $\vec{AB} + \vec{AA'}$.

Ta có:
$\vec{AB} = (1,0,0)$
$\vec{AA'} = (0,0,1)$
$\vec{AB} + \vec{AA'} = (1,0,0) + (0,0,1) = (1,0,1)$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

1. Công thức cộng, trừ hai vectơ có tọa độ:
Nếu $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ thì:
$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, a_3 \pm b_3)$
2. Công thức tính độ dài vectơ trong không gian:
$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$
3. Biểu diễn vectơ tổng/hiệu bằng quy tắc hình bình hành, hình học.
4. Quy tắc chuyển vế, phân tích theo toạ độ.
5. Nếu đang ở hệ tọa độ hai chiều (Oxy), công thức tổng/hiệu chỉ còn hai thành phần.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Biến thể về hình học thuần tuý: Chỉ yêu cầu biểu diễn tổng/hiệu, vẽ hình, suy luận theo hình bình hành.
- Biến thể về tính chất đặc biệt: Chứng minh$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$.
- Biến thể cho vectơ ở dạng tổng hợp:$\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$tìm$m$,$n$thỏa mãn điều kiện.
- Phối hợp với bài toán phân tích vectơ, tọa độ điểm, chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng, v.v.

Cách điều chỉnh chiến lược:
- Đọc kĩ đề, xác định rõ dạng bài (tính toán, chứng minh hình học, dựng hình,...)
- Với hình học không tọa độ: ưu tiên dùng quy tắc hình bình hành và quan sát hình vẽ.
- Với bài toán tọa độ: thực hiện thao tác chi tiết bằng công thức tổng/hiệu và các kỹ thuật tính độ dài, tích vô hướng khi cần.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$\vec{a} = (1, 2, -3)$,$\vec{b} = (2, -1, 4)$. Tính:
a)$\vec{a} + \vec{b}$
b)$\vec{a} - \vec{b}$
c)$|\vec{a} + \vec{b}|$và $|\vec{a} - \vec{b}|$

Giải:

a)$\vec{a} + \vec{b} = (1 + 2, 2 + (-1), -3 + 4) = (3, 1, 1)$

b)$\vec{a} - \vec{b} = (1 - 2, 2 - (-1), -3 - 4) = (-1, 3, -7)$

c) Độ dài:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 9 + 49} = \sqrt{59}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

Bài 1: Cho$\vec{a} = (3, -2, 5)$và $\vec{b} = (-1, 4, 2)$. Tính$\vec{a} + \vec{b}$,$\vec{a} - \vec{b}$và độ dài các vectơ này.Bài 2: Chứng minh$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$với$\vec{a}$,$\vec{b}$là hai vectơ bất kỳ.Bài 3: Trên mặt phẳng Oxy, cho$\vec{a} = (2, 3)$,$\vec{b} = (-4, 1)$. Vẽ $\vec{a}$,$\vec{b}$và $\vec{a} + \vec{b}$trên hệ trục tọa độ.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

Luôn kiểm tra dấu từng thành phần khi cộng/trừ.Ghi nhớ thứ tự các trục tọa độ (x, y, z) trong không gian, (x, y) trên mặt phẳng.Khi tính độ dài, dùng công thức chuẩn để tránh sai sót.Với bài hình học, nên vẽ hình rõ ràng, đánh dấu các vectơ.Nếu có điều kiện, thử kiểm tra lại kết quả bằng phương pháp khác.

Tóm lại, nắm chắc phương pháp cộng, trừ vectơ cả ở dạng hình học và tọa độ là chìa khóa để giải nhanh, chính xác các bài toán về tổng và hiệu hai vectơ lớp 12. Chúc các bạn học tốt!