Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Ứng Dụng Định Nghĩa Tích Phân Trong Bài Toán Vận Tốc – Quãng Đường (Toán 12)

1. Giới thiệu về bài toán và ý nghĩa thực tiễn

Ứng dụng định nghĩa tích phân để giải các bài toán về vận tốc – quãng đường là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 12, đặc biệt trong phần giải tích. Các bài toán này giúp học sinh hiểu sâu sắc mối liên hệ giữa vận tốc và quãng đường, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn vận động trong đời sống. Đây cũng là dạng bài thường xuất hiện trong các kỳ kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT quốc gia, giúp rèn luyện kỹ năng giải toán cũng như lập luận logic.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán ứng dụng định nghĩa tích phân trong vận tốc - quãng đường

Đặc điểm của loại bài toán này là: Cho biết vận tốc tức thời$v(t)$(có thể là hàm số hoặc bảng số liệu), yêu cầu xác định quãng đường (hoặc vị trí) vật chuyển động trong một khoảng thời gian$[a, b]$. Một số trường hợp yêu cầu ngược lại: cho biết vị trí, tìm vận tốc, hoặc phân tích ý nghĩa vật lý của bài toán. Các hàm vận tốc thường gặp là hàm đa thức, lượng giác hoặc dạng hợp.

• Vận tốc là đạo hàm theo thời gian của vị trí:$v(t) = x'(t)$
• Quãng đường đi được trên$[a, b]$là tích phân (hoặc đôi khi là tích phân trị tuyệt đối nếu vật đổi hướng):$S = \int_a^b |v(t)| dt$
• Độ dời là:$\Delta x = \int_a^b v(t)dt = x(b) - x(a)$

3. Chiến lược tổng thể để giải loại bài toán này

• Xác định dữ liệu: cho$v(t)$, xác định khoảng thời gian$[a,b]$
• Viết công thức tích phân tính quãng đường hoặc độ dời phù hợp với yêu cầu bài toán.
• Phân tích dấu của$v(t)$trên khoảng$[a,b]$ để xét trường hợp vật đổi chiều (quãng đường phải lấy trị tuyệt đối).
• Tìm các điểm$t$mà $v(t) = 0$trên$[a,b]$(nếu có), chia nhỏ khoảng tích phân tại các điểm đổi dấu.
• Tính giá trị tích phân cần thiết (kết hợp các kỹ thuật tính tích phân cơ bản, đổi biến nếu cần).
• Kết luận kết quả (quãng đường, độ dời) và phân tích ý nghĩa (nếu được yêu cầu).

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1: Cho$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$(m/s)$,$t$tính bằng giây ($0 \leq t \leq 4$). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.

Bước 1: Xác định yêu cầu bài toán: Tính quãng đường vật đi trong$[0,4]$khi biết vận tốc tức thời.

Bước 2: Tìm các điểm$t$mà $v(t) = 0$.

Giải$3t^2 - 12t + 9 = 0 \to t^2 - 4t + 3 = 0 \to (t - 1)(t - 3)=0 \to t=1$,$t=3$.

Bước 3: Xét dấu của$v(t)$trên các khoảng$[0,1]$,$[1,3]$,$[3,4]$:

• Trên$[0,1]$: Lấy$t=0.5$,$v(0.5) = 3 \times (0.5)^2-12 \times 0.5+9 = 3 \times 0.25-6+9 = 0.75-6+9=3.75 >0$
• Trên$[1,3]$: Lấy$t=2$,$v(2)=3 \times 4-12 \times 2+9=12-24+9=-3 <0$
• Trên$[3,4]$: Lấy$t=3.5$,$v(3.5)=3 \times (3.5)^2-12 \times 3.5+9=3 \times 12.25-42+9=36.75-42+9=3.75>0$

Vậy quãng đường là:

S =$\int$_0^4 |v(t)|dt =$\int$_0^1 v(t)dt +$\int$_1^3 -v(t)dt +$\int$_3^4 v(t)dt

Bước 4: Tính từng phần tích phân:

Tìm nguyên hàm:$\int v(t)dt = t^3 - 6t^2 + 9t + C$

-$\int_0^1 v(t)dt = [t^3-6t^2+9t]_0^1 = (1-6+9)-(0-0+0) = 4$

-$\int_1^3 -v(t)dt = -([t^3-6t^2+9t]_1^3) = -[(27-54+27)-(1-6+9)] = -[(0)-(4)] = 4$

-$\int_3^4 v(t)dt = [t^3-6t^2+9t]_3^4 = (64-96+36)-(27-54+27) = (4)-(0) = 4$

Bước 5: Kết luận:$S=4+4+4=12$(mét). Vậy quãng đường vật đi được là $12$m.

5. Các công thức và kỹ thuật quan trọng cần nhớ

• $S = \int_a^b |v(t)|dt$– Quãng đường vật đi.
• $\Delta x = x(b) - x(a) = \int_a^b v(t) dt$– Độ dời.
• Kỹ thuật chia khoảng tích phân tại các điểm$v(t)=0$.
• Tìm nguyên hàm của hàm vận tốc.
• Phân tích dấu và tính chính xác trị tuyệt đối.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Đổi chiều nhiều lần: Có thể gặp$v(t)$có nhiều nghiệm trên$[a,b]$, cần cẩn trọng chia đúng các khoảng.
• Vận tốc âm/dương không đều: Thỉnh thoảng vật chỉ đi một chiều (chỉ dương hoặc chỉ âm) – không cần lấy trị tuyệt đối.
• Dạng bảng số liệu: Dùng tích phân gần đúng (hình thang, Simpson).
• Tìm lại vận tốc khi biết vị trí: Ngược lại, đôi khi yêu cầu xác định$v(t)$khi biết$x(t)$, hoặc lập phương trình chuyển động.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

v(t)=4\sin(\pi t) trên đoạn $[0,2]$ , tô màu vùng diện tích dương (từ 0 đến 1) và âm (từ 1 đến 2) để minh họa quãng đường tổng $\tfrac{16}{\pi}\,$ m và độ dời $0\,$ m" title="Hình minh họa: Đồ thị hàm vận tốc v(t)=4\sin(\pi t) trên đoạn $[0,2]$ , tô màu vùng diện tích dương (từ 0 đến 1) và âm (từ 1 đến 2) để minh họa quãng đường tổng $\tfrac{16}{\pi}\,$ m và độ dời $0\,$ m" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động theo vận tốc $v(t) = 4\sin(\pi t)$(m/s),$t$tính bằng giây,$t \in [0,2]$. Tính quãng đường và độ dời vật đi được.

Bước 1: Tính các điểm vận tốc đổi dấu trong $[0,2]$: $v(t) = 0 \implies \sin(\pi t) = 0 \implies \pi t = k\pi \implies t = k$, với $k=0,1,2$. Vậy các điểm là $0,1,2$.

Bước 2: Xét dấu$v(t)$trên từng khoảng:

• Trên $(0,1)$: $\sin(\pi t) > 0$nên$v(t) > 0$
• Trên $(1,2)$: $\sin(\pi t) < 0$nên$v(t) < 0$

Bước 3: Tính quãng đường:

S = $\int$_0^2 |4$\sin(\pi t)$|dt = $\int$_0^1 4$\sin(\pi t)$dt + $\int$_1^2 -4$\sin(\pi t)$dt

Nguyên hàm $\int \sin(\pi t)dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C$.

Tính $\int_0^1 4\sin(\pi t)dt = 4 \times \left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right)\Big|_0^1 = -\frac{4}{\pi}[\cos(\pi) - \cos(0)] = -\frac{4}{\pi}[-1-1]=\frac{8}{\pi}$

Tính $\int_1^2 -4\sin(\pi t)dt$:

-$4\int_1^2 \sin(\pi t)dt = -4\left(-\frac{1}{\pi}[\cos(\pi t)]_1^2\right) = \frac{4}{\pi}[\cos(2\pi)-\cos(\pi)] = \frac{4}{\pi}[1-(-1)] =\frac{8}{\pi}$

Vậy$S= \frac{8}{\pi} + \frac{8}{\pi} = \frac{16}{\pi}$(mét)

Bước 4: Độ dời: $\Delta x = \int_0^2 4\sin(\pi t)dt = [ -\frac{4}{\pi}\cos(\pi t) ]_0^2 = -\frac{4}{\pi}(\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{4}{\pi}(1-1)=0$

Kết luận: Quãng đường$\frac{16}{\pi}$m, độ dời$0$m.

8. Bài tập thực hành luyện tập

• 1. Một vật chuyển động với$v(t) = 6t - 18$(m/s),$t$tính bằng giây,$t \in [0,5]$. Tính quãng đường vật đi được.
• 2. Cho$v(t)=2t^2-8t+6$(m/s),$t \in [0,5]$. Tính quãng đường và độ dời của vật.
• 3. Một chất điểm chuyển động với$v(t)=5\cos t$(m/s),$t \in [0,\pi]$. Tính quãng đường đi được.
• 4. Vật chuyển động với $v(t) = \sin(2t)$. $t \in [0,\pi]$. Tính độ dời và quãng đường đi được.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm thường gặp

• Cần phân biệt rõ quãng đường và độ dời. Độ dời có thể nhỏ hơn quãng đường.
• Chú ý lấy trị tuyệt đối với tích phân khi vận tốc đổi chiều.
• Kiểm tra kỹ nghiệm của$v(t)=0$ để không bỏ sót các điểm đổi dấu.
• Đơn vị vận tốc và thời gian phải thống nhất, đừng nhầm lẫn!
• Sau khi tính xong nên lý giải kết quả có phù hợp thực tế không.