Chiến lược giải quyết bài toán 'Ứng dụng vào bài toán tối ưu trong thực tế' lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán tối ưu trong thực tế và tầm quan trọng

Bài toán tối ưu trong thực tế là một trong những dạng toán rất quan trọng trong chương trình Toán 12 cũng như các kỳ thi THPT Quốc gia. Các bài toán này không chỉ vận dụng kiến thức về đạo hàm, khảo sát hàm số mà còn đòi hỏi học sinh hiểu bản chất thực tiễn, gắn liền với các tình huống đời sống: tối ưu hóa chi phí, diện tích, thể tích, thời gian, lợi nhuận…

Giải tốt bài toán tối ưu giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy logic, khả năng vận dụng toán học vào cuộc sống, đáp ứng yêu cầu học tập các ngành kỹ thuật, kinh tế sau này.

2. Đặc điểm của bài toán tối ưu thực tế

• Là bài toán đưa ra một tình huống có thực, yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng liên quan (diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận…).
• Các đại lượng thường ràng buộc với nhau qua một hoặc nhiều điều kiện.
• Giải bài toán thường cần chuyển đổi từ ngôn ngữ thực tế sang dạng toán học (gọi ẩn số, biểu diễn hàm mục tiêu).
• Ứng dụng kiến thức đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán tối ưu

Để giải tốt các bài toán tối ưu ứng dụng thực tế, cần tuân theo một chiến lược tổng quát:

• 1. Phân tích kỹ đề bài, xác định rõ đại lượng cần tối ưu.
• 2. Gọi ẩn số thích hợp, mô tả các đại lượng liên quan dưới dạng toán học.
• 3. Thiết lập hàm mục tiêu (hàm cần tối ưu) với 1 ẩn số.
• 4. Xác định điều kiện ràng buộc, chuyển đổi nếu cần thiết.
• 5. Tìm TXĐ của hàm mục tiêu (thường là đoạn [a; b]).
• 6. Dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• 7. Đối chiếu kết quả với điều kiện thực tế, kết luận.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho một miếng tôn hình chữ nhật kích thước$40cm\times 25cm$. Bằng cách cắt các hình vuông ở bốn góc rồi gập lên để được một cái hộp không nắp. Hỏi diện tích lớn nhất của đáy hộp là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải từng bước

• Bước 1: Gọi$x$(cm) là cạnh hình vuông cắt ở bốn góc ($0 < x < \min\{20;12.5\}$ để còn lại đáy hộp).
• Bước 2: Kích thước đáy hộp sẽ là $(40 - 2x) \times (25 - 2x)$.
• Bước 3: Diện tích đáy hộp:$S(x) = (40-2x)(25-2x)$.
• Bước 4: TXĐ:$0 < x < 12.5$.
• Bước 5: Phát triển hàm$S(x) = 1000 - 80x - 50x + 4x^2 = 1000 - 130x + 4x^2$.
• Bước 6: Tìm cực trị. Lấy đạo hàm$S'(x) = -130 + 8x$. Cho$S'(x) = 0$tìm$x$:
• $-130 + 8x = 0 \Rightarrow x = 16.25$(loại vì $x>12.5$).
• Vì hàm bậc hai hệ số $a=4>0$nên$S(x)$ đạt GTNN tại đỉnh. Kiểm tra$x\to 0^+$và $x\to 12.5^-$.
• Tại$x\to 0^+$:$S \to 1000$; tại$x=12.5$:$S = (40-25)(25-25) = 0$. Suy ra diện tích lớn nhất là $1000\text{cm}^2$, đạt tại$x\to 0$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tính đạo hàm của hàm mục tiêu:$f'(x)$.
• Xét các điểm nằm trong TXĐ hoặc trên biên.
• Kỹ thuật chuyển đổi 2 ẩn về 1 ẩn nhờ điều kiện ràng buộc.
• Phương pháp xét dấu$f'(x)$ để biết GTLN, GTNN.
• Cách kiểm tra điều kiện thực tế từng giá trị.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

Các bài toán tối ưu có thể thay đổi ở nhiều điểm:

• Tối ưu hóa diện tích, thể tích, chu vi, chi phí, lợi nhuận,...
• Ràng buộc có thể là tổng, hiệu, tỉ số,... giữa các đại lượng.
• Có thể phải giải hệ phương trình khi có thêm biến.
• Phải suy nghĩ bước chuyển đổi ẩn số sao cho tiện lợi.

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là $120$m. Tìm kích thước của mảnh vườn để diện tích là lớn nhất.

• Gọi chiều dài là $x$(m), chiều rộng là $y$(m).
• Chu vi:$2(x+y) = 120 \Rightarrow x+y=60 \Rightarrow y=60-x$.
• Diện tích$S=x \cdot y = x(60-x) = 60x - x^2$.
• $0 < x < 60$.
• Đạo hàm:$S'(x) = 60 - 2x$;$S'(x)=0 \Rightarrow x=30$.
• Xét tại$x=0, x=30, x=60$:$S(0)=0, S(30)=900, S(60)=0$. Diện tích lớn nhất là $900m^2$khi$x=30$,$y=30$.

8. Bài tập tự luyện

Dưới đây là một số bài tập tối ưu thực tế cho các em tự luyện:

• Bài 1: Dây thép dài$100$m được uốn thành hình chữ nhật. Hãy xác định chiều dài, chiều rộng để diện tích đạt giá trị lớn nhất.
• Bài 2: Một hình trụ không nắp có thể tích$500\pi$cm^3$. Tìm bán kính đáy để diện tích xung quanh nhỏ nhất.
• Bài 3: Tìm hai số dương biết tổng của chúng là $20$, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận chuyển đổi ẩn, chú ý điều kiện xác định của biến.
• Xác định chính xác đại lượng cần tối ưu theo yêu cầu đề bài.
• Đừng quên kiểm tra lại các giá trị biên (đầu mút) của miền xác định.
• Nên vẽ hình minh họa nếu bài toán có yếu tố hình học.
• Sau khi tính giá trị tối ưu, nhớ trả lời đúng ý nghĩa thực tế.