1. Giới thiệu về bài toán hàm chẵn và tầm quan trọng

Bài toán về hàm chẵn là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, kiểm tra học kỳ cũng như các kỳ thi đại học. Việc hiểu rõ và thành thạo cách giải bài toán hàm chẵn giúp học sinh dễ dàng tư duy đối xứng, rút gọn biểu thức và giải quyết nhiều dạng bài từ khảo sát hàm số đến chứng minh bất đẳng thức, tính tích phân,...

2. Phân tích đặc điểm của bài toán hàm chẵn

Hàm chẵn là hàm số thỏa mãn điều kiện:$f(-x) = f(x)$với mọi$x$thuộc tập xác định. Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục$Oy$. Một số đặc điểm cần ghi nhớ:

• Tập xác định của hàm chẵn luôn đối xứng qua gốc tọa độ.
• Biểu thức của hàm chẵn chỉ chứa các số mũ chẵn như $x^2$,$x^4$, hoặc các biểu thức đối xứng thay$x$bằng$-x$không thay đổi.
• Biểu thức của hàm chẵn có thể nhận diện qua các phép biến đổi: thay$x$bằng$-x$nếu kết quả không đổi nghĩa là hàm chẵn.
• Đồ thị đối xứng (đọc đồ thị hoặc bảng biến thiên cũng áp dụng tính chất này để nhanh chóng xác định cực trị, nghiệm,...).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán hàm chẵn

1. Nhận diện hàm chẵn dựa trên công thức hoặc mô tả.
2. Kiểm tra tập xác định có đối xứng không. Nếu không đối xứng, hàm không thể là chẵn.
3. Thay$x$bằng$-x$vào biểu thức hàm. Nếu$f(-x)$ đúng bằng$f(x)$thì xác nhận hàm chẵn.
4. Vận dụng các tính chất đối xứng của đồ thị (tập nghiệm, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tích phân,...).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ta sẽ lấy ví dụ minh họa từng bước cụ thể như sau.

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. Hãy kiểm tra hàm số này có chẵn không?

1. Nhận diện tập xác định: Hàm đa thức xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$, tập xác định đối xứng qua$O$.
2. Thay$x$bằng$-x$vào biểu thức:$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.
3. Áp dụng tính chất đối xứng nếu cần vẽ đồ thị hoặc tìm điểm cực trị: đồ thị đối xứng qua trục$Oy$, các giá trị cực trị (nếu có) cũng đối xứng phía hai bên trục.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện hàm chẵn:$f(-x) = f(x)$với mọi$x$thuộc tập xác định đối xứng.
• Dễ nhận diện qua dạng: bậc chẵn, thậm chí dưới dạng:$f(x)=h(x^2)$. Ví dụ:$x^8 + 3x^6 - x^4 + 7$là hàm chẵn.
• Với tích phân:$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$nếu$f(x)$là hàm chẵn.
• Với phương trình đối xứng: biến$x \leftrightarrow -x$hoặc rút gọn nghiệm đối xứng.

6. Các biến thể của bài toán hàm chẵn và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm điều kiện để hàm số là hàm chẵn (xác định tham số sao cho$f(-x) = f(x)$).
• Chứng minh phương trình có nghiệm đối xứng nhờ tính chẵn.
• Tính tích phân đối xứng sử dụng tính chất hàm chẵn.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x) = x^4 + mx^2 + n$. Tìm điều kiện của$m, n$ để hàm chẵn.

1. Hàm xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.
2. Thay$x$bằng$-x$:$f(-x) = (-x)^4 + m(-x)^2 + n = x^4 + mx^2 + n = f(x)$. Với mọi$m, n$, hàm số luôn là hàm chẵn.

Ví dụ 3: Tính tích phân$I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx$.

1. $\cos^2 x$là hàm chẵn.
2. Áp dụng công thức:$I = 2\int_0^{\pi} \cos^2 x dx$.
3. Tính$\int_0^{\pi} \cos^2 x dx = \int_0^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}\int_0^{\pi} 1 dx + \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \cos 2x dx = \frac{\pi}{2}$.
4. Vậy$I = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho hàm số $f(x) = x^6 - 5x^4 + 4x^2 - 2$. Chứng minh hàm số là hàm chẵn và giải phương trình$f(x) = 0$.

1. Hàm xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.
2. Thay$x$bằng$-x$:$f(-x) = (-x)^6 - 5(-x)^4 + 4(-x)^2 - 2 = x^6 - 5x^4 + 4x^2 - 2 = f(x)$. Vậy$f(x)$là hàm chẵn.
3. Đặt$y = x^2$,$x^6 - 5x^4 + 4x^2 - 2 = 0 \Longleftrightarrow y^3 - 5y^2 + 4y - 2 = 0$. Tìm nghiệm của đa thức bậc 3 này (giả sử $y_1, y_2, y_3$là các nghiệm).
4. Nghiệm $x$là $\pm \sqrt{y_i}$với điều kiện$y_i \geq 0$.

Vậy số nghiệm của phương trình$f(x) = 0$sẽ là số các giá trị $y_i \geq 0$, mỗi giá trị cho hai nghiệm (do đối xứng).

8. Bài tập thực hành

Hãy tự luyện tập với các bài dưới đây:

• a) Kiểm tra các hàm sau là hàm chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ:$f(x) = x^2 + 3$,$g(x) = x^3 - x$,$h(x) = x^2 + x$.
• b) Cho hàm$f(x) = |x|^3 - |x|$. Hãy chứng minh$f(x)$là hàm chẵn.
• c) Tính tích phân$I = \int_{-2}^{2} (x^4 - 6x^2 + 8) dx$.
• d) Chứng minh rằng phương trình$f(x) = f(-x) = 3$có hai nghiệm trái dấu với$f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm khi làm bài toán hàm chẵn

• Không kiểm tra tập xác định: Luôn nhớ rằng hàm muốn là chẵn thì tập xác định phải đối xứng qua gốc$O$.
• Nhầm lẫn giữa tính chẵn và tính lẻ:$f(-x) = -f(x)$mới là hàm lẻ.
• Khi sử dụng tích phân, phải kiểm tra điều kiện hàm chẵn trước khi áp dụng công thức rút gọn.
• Đối với bài toán có tham số, phải tách điều kiện thật cẩn thận để không bỏ sót trường hợp.