Chiến lược giải quyết bài toán về hàm logarit lớp 12: Hướng dẫn chi tiết kèm ví dụ

1. Giới thiệu về bài toán hàm logarit và tầm quan trọng

Hàm logarit là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Các bài toán về hàm logarit xuất hiện thường xuyên trong đề thi THPT Quốc gia và các kỳ kiểm tra lớn bởi tính ứng dụng thực tiễn, khả năng kết hợp đa dạng với nhiều dạng toán khác như phương trình, bất phương trình, hàm số, giới hạn. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm logarit không chỉ giúp học sinh chủ động trong việc giải quyết nhiều dạng toán mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học cao hơn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm logarit

Các bài toán về hàm logarit lớp 12 thường có những đặc điểm nổi bật sau:

• Liên quan đến xác định điều kiện tồn tại: Biểu thức dưới dấu logarit phải dương.
• Hay xuất hiện các phép biến đổi đồng nhất và sử dụng các công thức logarit cơ bản.
• Kết hợp với các phép toán đại số như phương trình, bất phương trình, định lý hàm số.
• Đôi khi yêu cầu giải tích, vẽ đồ thị hoặc xét tính đơn điệu của hàm logarit.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm logarit

Để giải hiệu quả các bài toán hàm logarit, học sinh cần xây dựng một chiến lược bài bản, dựa trên các bước cơ bản:

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định của bài toán (điều kiện tồn tại logarit).
• Bước 2: Ứng dụng các công thức biến đổi logarit phù hợp để đơn giản hóa biểu thức.
• Bước 3: Chuyển đổi bài toán về dạng quen thuộc (phương trình, bất phương trình).
• Bước 4: Giải quyết bài toán theo hướng đã chọn, kiểm tra lại điều kiện cho kết quả.

4. Các bước giải chi tiết qua ví dụ minh họa

Dưới đây là một ví dụ điển hình về cách giải bài toán hàm logarit:

Ví dụ 1: Giải phương trình logarit sau:

$\log_2 (x-1) + \log_2 (x-3) = 3$

Giải chi tiết:

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định
  
  $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
  
  $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$
  
  => Điều kiện:$x > 3$
• Bước 2: Sử dụng công thức logarit,
  $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$
  
  Ta có:
  $\log_2 (x-1) + \log_2 (x-3) = \log_2[(x-1)(x-3)]$
  
  Nên phương trình trở thành:
  $\log_2[(x-1)(x-3)] = 3$
• Bước 3: Đưa phương trình về dạng bình thường
  
  Sử dụng tính chất \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c :
  
  \[
  (x-1)(x-3) = 2^3 = 8
  \]
  \[
  x^2 - 4x + 3 = 8
  \]
  \[
  x^2 - 4x - 5 = 0
  \]
  \[
  (x-5)(x+1) = 0
  \]
  \[
  \Rightarrow x = 5 \;\text{hoặc}\; x = -1
  \]
• Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận
  
  Theo điều kiện$x > 3$, chỉ nhận$x = 5$
  
  Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Một số công thức cơ bản thường xuyên sử dụng khi giải toán hàm logarit lớp 12:

• $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a x^n = n\log_a x$
• $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$với$a > 0, a \neq 1, b > 0$
• Công thức đổi cơ số:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

6. Các biến thể của bài toán hàm logarit và điều chỉnh chiến lược

Bài toán hàm logarit có nhiều biến thể như: giải phương trình logarit, giải bất phương trình logarit, tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, khảo sát hàm số có chứa logarit hoặc kết hợp với hệ phương trình. Mỗi dạng đòi hỏi điều chỉnh chiến lược như sau:

• Giải phương trình logarit: Biến đổi về logarit cùng cơ số, áp dụng các công thức gộp, đưa về phương trình đại số cơ bản.
• Giải bất phương trình logarit: Đặt điều kiện xác định nghiêm ngặt hơn, chú ý chiều của bất đẳng thức theo tính đơn điệu của hàm số logarit.
• Khảo sát hàm số logarit: Xét tính đơn điệu bằng đạo hàm, xét giới hạn, xác định tập xác định và nhận dạng đồ thị qua các điểm đặc biệt.
• Biến đổi biểu thức chứa logarit: Gộp hoặc tách logarit theo công thức, đổi cơ số, quy về đại số.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

8. Bài tập thực hành

Dưới đây là một số bài tập tự luyện giúp bạn làm quen với nhiều dạng bài toán về hàm logarit:

1. Giải các phương trình sau:
   a)$\log_5 (x-2) + \log_5 (x+2) = 1$
   b)$\log_2 (x^2 - 3x + 2) = 1$
2. Giải bất phương trình (giải thích rõ điều kiện xác định):
   $\log_4 (x^2 - 4x) < 1$
3. Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_{x-2}(x+1)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn đặt điều kiện xác định trước khi giải và kết luận nghiệm.
• Chỉ thực hiện phép biến đổi logarit khi cơ số và biểu thức dưới dấu log đều hợp lệ (cơ số khác 1, lớn hơn 0; biểu thức dương).
• Kết luận nghiệm hoặc tập xác định cuối cùng phải thỏa mãn mọi điều kiện đã đặt ra.
• Cẩn thận khi chuyển bất đẳng thức logarit về dạng đại số, cần chú ý tính đơn điệu của hàm logarit.