1. Giới thiệu về bài toán hàm thể tích và tầm quan trọng

Bài toán hàm thể tích là dạng toán điển hình trong chương trình Toán lớp 12, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Dạng toán này yêu cầu học sinh xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc biểu thức liên hệ tới thể tích của một vật thể hình học, thường là các khối đa diện, khối tròn xoay... Dạng toán này vừa kiểm tra kiến thức hình học không gian vừa vận dụng kỹ năng giải hàm số, hướng tới thực tiễn và kỹ năng tổng hợp nhiều chủ đề.

2. Đặc điểm nhận diện bài toán hàm thể tích

- Bài toán thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc giá trị cụ thể của thể tích dựa trên điều kiện biến hình học.
- Dữ liệu thường là các thông số về kích thước, tỷ số, bán kính, chiều cao, tọa độ, góc…
- Có thể là khối chóp, khối lăng trụ, khối tứ diện, hình trụ, hình cầu...
- Quan trọng nhất là biểu diễn thể tích thành một hàm số theo biến số duy nhất, sau đó vận dụng các kỹ thuật tìm cực trị hàm số.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán hàm thể tích

Để giải dạng bài này, bạn nên thực hiện tuần tự các bước chính sau:

• Bước 1 – Phân tích đề toán, xác định khối hình và các tham số hình học.
• Bước 2 – Xây dựng công thức tính thể tích khối hình, liên kết với các biến dạng.
• Bước 3 – Biểu diễn thể tích thành một hàm số theo biến độc lập duy nhất.
• Bước 4 – Xác định miền biến của biến số và điều kiện hình học.
• Bước 5 – Tìm cực trị (lớn nhất/nhỏ nhất) bằng đạo hàm và kiểm tra tại các điểm biên.
• Bước 6 – Trả lời phù hợp với yêu cầu đề bài.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác đều$ABC$cạnh$a$. Gọi$M$di động trên đoạn$BC$. Dựng hình chóp$S.ABM$có $SA \bot (ABC)$và $SA = h$. Tìm vị trí $M$ để thể tích$V$của khối chóp đạt giá trị lớn nhất (với$h$cố định).

• Bước 1: Phân tích hình học – Hình chóp$S.ABM$có đáy là tam giác$ABM$, chiều cao$SA = h$.
• Bước 2: Công thức thể tích$V = \frac{1}{3} S_{đáy} \times SA = \frac{1}{3} S_{ABM} h$.
• Bước 3: Biểu diễn$S_{ABM}$theo$x = BM$. Vì $M$di động trên$BC$nên$x \in [0,a]$. Tam giác đều nên$AB = a$,$AM$xác định.
• Bước 4: Ta có $S_{ABM} = \frac{1}{2} AB \cdot h_{AM}$, với$h_{AM}$là chiều cao vẽ từ $M$xuống$AB$.
• Bước 5: Biến đổi hình học, rút$S_{ABM}$theo$x$, xây dựng$V(x)$.
• Bước 6: Tìm max$V(x)$trên$[0,a]$bằng cách lấy đạo hàm, tìm$x$thoả mãn$V'(x) = 0$và kiểm tra giá trị tại các điểm biên.

Cách trình bày chi tiết (giả sử $BC$nằm trên trục hoành,$B(0,0)$, $C(a,0)$):
Gọi $M$có tọa độ $(x,0)$với$0 \leq x \leq a$. Điểm $A$có tọa độ $\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Diện tích tam giác $ABM$ xét theo định thức tọa độ:

V(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} x \cdot h = \frac{a\sqrt{3}}{12} h x$<br />Do$x \in [0,a]$,$V(x)$đạt giá trị lớn nhất khi$x = a$(tức$M$trùng$C$). Khi đó:<br />$V_{max} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{12} h$<br />Đáp án:$M \equiv C$thì$V_{max}$ đạt giá trị lớn nhất.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Thể tích khối chóp:$V = \frac{1}{3} S_{đáy} h_{chóp}$
• Thể tích khối lăng trụ:$V = S_{đáy} \cdot h_{lăng\trụ}$
• Thể tích hình cầu:$V = \frac{4}{3} \pi R^3$
• Thể tích hình trụ:$V = \pi R^2 h$
• Kỹ thuật tìm max/min: Tính$V'(x)$, giải phương trình$V'(x) = 0$, kiểm tra tại cả các điểm biên của miền xác định.
• Dùng định thức tọa độ để tính diện tích tam giác khi biết tọa độ ba điểm.

6. Các biến thể bài toán – Cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán thể tích của hình tròn xoay: Khi quay một hình phẳng quanh trục, phải xác định đúng yếu tố tạo nên hình tròn xoay và biểu diễn thể tích theo biến cần tìm.
• Bài toán với nhiều biến số: Cố gắng ràng buộc các biến và biểu diễn thể tích chỉ theo một biến duy nhất.
• Theo dạng giới hạn tối thiểu, phải kiểm tra giá trị tại các điểm biên và giải điều kiện hình học kỹ lưỡng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho tam giác vuông cân$ABC$tại$A$với$AB = AC = a$, điểm$M$di động trên cạnh$BC$. Gọi$S$là điểm nằm ngoài mặt phẳng$(ABC)$sao cho$SA = d$và $SA \perp (ABC)$. Tìm vị trí $M$ để thể tích hình chóp$S.ABM$ đạt lớn nhất.

• Bước 1: Xác định bài toán: Hình chóp$S.ABM$với$SA \perp (ABC), SA = d$.
• Bước 2: Viết công thức thể tích:$V = \frac{1}{3} S_{ABM} \cdot d$.
• Bước 3: Dùng tọa độ: Đặt$A(0,0,0)$,$B(a,0,0)$,$C(0,a,0)$,$S(0,0,d)$.
• Gọi$M(x, a - x, 0)$với$x \in [0, a]$(trên đoạn$BC$).
• Tính$S_{ABM}$bằng định thức tọa độ:
  
  $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix*} 0 & 0 \\a & 0 \\x & a-x \\\end{vmatrix*} \right| = \frac{1}{2} | a(a-x) |$$
  .

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a(a-x) d = \frac{a d}{6} (a - x)$
Với$x \in [0, a]$,$V$lớn nhất khi$x$nhỏ nhất, tức$x = 0$. Khi đó $M$trùng$B$.
Vậy,$M \equiv B$thì $V_{max}$.

8. Bài tập tự luyện

• Cho hình lập phương cạnh$a$, lấy điểm$M$di động trên cạnh$AB$. Tìm vị trí $M$ để thể tích khối tứ diện$OABM$lớn nhất ($O$là đỉnh đối diện$B$).
• Cho tứ diện đều cạnh$a$, tìm vị trí điểm$M$di động trên cạnh$BC$ để thể tích khối chóp$S.ABM$ đạt cực đại.
• Cho một hình tròn xoay được tạo ra bằng cách quay hình chữ nhật$ABCD$quanh trục$AB$(với độ dài$AB = a$không đổi, chiều cao$AD = x$). Xác định$x$ để thể tích hình tròn xoay đạt lớn nhất khi$x$thay đổi trong khoảng dương.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai sót thường gặp

• Luôn kiểm tra điều kiện hình học, miền biến và các giá trị biên khi tìm cực trị.
• Đảm bảo biểu diễn thể tích chính xác theo một biến duy nhất.
• Tính cẩn thận đạo hàm và giải phương trình, tránh nhầm lẫn biến số với hằng số hình học.
• Nên vẽ hình rõ ràng để kiểm tra các trường hợp và giữ logic trong quá trình lập luận.

Trên đây là hướng dẫn toàn diện về cách giải bài toán hàm thể tích lớp 12. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ thuật này, đặc biệt là kỹ năng biểu diễn thể tích thành hàm số và tìm GTLN-GTNN chính xác.