Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán về Q1, Q3, IQR Lớp 12: Hướng Dẫn Chi Tiết và Mẹo Hay

1. Giới thiệu về bài toán Q1, Q3, IQR và tầm quan trọng

Trong thống kê, các bài toán liên quan đến phân vị như Q1 (tứ phân vị thứ nhất), Q3 (tứ phân vị thứ ba) và IQR (khoảng tứ phân vị) là một phần trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12. Đây là các khái niệm giúp mô tả sự phân tán và độ biến thiên của dữ liệu, từ đó đưa ra nhận xét về tính đồng nhất hay sự bất thường. Kỹ năng giải bài toán dạng này vô cùng quan trọng đối với học sinh, không chỉ để làm tốt các bài kiểm tra mà còn ứng dụng thực tế trong phân tích số liệu sau này.

2. Đặc điểm của bài toán về Q1, Q3, IQR

Các bài toán về Q1, Q3, IQR thường chia thành 2 loại chính:

• Dạng 1: Tìm Q1, Q3, IQR với dãy số liệu rời (không phân lớp)
• Dạng 2: Tìm Q1, Q3, IQR với bảng tần số ghép nhóm (dữ liệu phân lớp)

Điểm đặc biệt: Cách xác định vị trí Q1, Q3 sẽ khác tùy dữ liệu là liệt kê (dạng rời) hay phân thành các lớp (dạng ghép nhóm).

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán Q1, Q3, IQR

• Hiểu rõ khái niệm và công thức tính.
• Nhận diện dạng bài: Xác định dữ liệu rời hay phân lớp.
• Tính tổng số lượng dữ liệu (hoặc tổng tần số).
• Xác định vị trí Q1, Q3 dựa vào công thức.
• Tìm giá trị Q1, Q3.
• Tính IQR = Q3 - Q1.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Dạng 1: Dữ liệu rời (không phân lớp)

• Bước 1: Sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần.
• Bước 2: Xác định số phần tử $n$.
• Bước 3: Tính vị trí Q1 bằng$Q1$tại vị trí $\dfrac{n+1}{4}$, vị trí Q3 ở $\dfrac{3(n+1)}{4}$.
• Bước 4: Nếu vị trí là số lẻ, lấy phần tử đúng thứ tự. Nếu không, tính trung bình cộng 2 số liền kề.
• Bước 5: Tính IQR = Q3 – Q1.

Ví dụ minh họa:Tìm Q1, Q3, IQR của dãy số sau: 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14.

• Số phần tử $n = 9$
•$Q1$tại vị trí $\dfrac{9+1}{4} = 2,5$(nằm giữa phần tử thứ 2 và 3)
=>$Q1 = \dfrac{5 + 5}{2} = 5$
•$Q3$tại vị trí $\dfrac{3(9+1)}{4} = 7,5$(nằm giữa phần tử thứ 7 và 8)
=>$Q3 = \dfrac{10 + 12}{2} = 11$
•$IQR = Q3 - Q1 = 11-5 = 6$

Dạng 2: Dữ liệu phân lớp (bảng tần số, ghép nhóm):

• Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy.
• Bước 2: Xác định tổng tần số $N$.
• Bước 3: Xác định vị trí Q1 ($N/4$), Q3 ($3N/4$).
• Bước 4: Tìm lớp chứa Q1, Q3 (lớp mà tần số tích lũy vừa lớn hơn hoặc bằng vị trí Q1, Q3).
• Bước 5: Sử dụng công thức nội suy:

Q1 =$L_1 + \dfrac{(N/4 - F_0)}{f_1} \times h$Q3 =$L_3 + \dfrac{(3N/4 - F'_0)}{f_3} \times h$Trong đó:
-$L_1, L_3$là cận dưới của lớp chứa Q1, Q3
-$F_0, F'_0$là tần số tích lũy trước lớp chứa
-$f_1, f_3$là tần số lớp chứa
-$h$là độ rộng lớp

Ví dụ minh họa:
Bảng số liệu sau cho biết kết quả của 20 học sinh:
| Điểm (Lớp) | 0–3 | 3–6 | 6–9 | 9–12 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Số học sinh | 2 | 8 | 6 | 4 |
Tính Q1, Q3, IQR.

- Tổng tần số $N = 20$- Vị trí Q1:$N/4 = 5$, Q3:$3N/4 = 15$
- Bảng tần số tích lũy: 0–3 (2), 3–6 (10), 6–9 (16), 9–12 (20)
- Q1 nằm ở lớp 3–6 (vì tần số tích lũy là 10
greater$5)<br />-$L_1 = 3$,$F_0=2$,$f_1=8$,$h=3$-$Q1 = 3 + \dfrac{5-2}{8}$\times$3 = 3 + \dfrac{3}{8}$\times$3 = 4,125$<br />- Q3 nằm ở lớp 6–9 (tần số tích lũy 16<br />greater$15)
-$L_3 = 6$,$F'_0=10$,$f_3=6$,$h=3$-$Q3 = 6 + \dfrac{15-10}{6} \times 3 = 6 + \dfrac{5}{6} \times 3 = 8,5$-$IQR = 8,5 – 4,125 = 4,375$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Vị trí Q1 (dữ liệu rời):$Q1$ở vị trí$\dfrac{n+1}{4}$
• Vị trí Q3 (dữ liệu rời):$Q3$ở vị trí$\dfrac{3(n+1)}{4}$
• Q1 (ghép nhóm):$Q1 = L_1 + \dfrac{(N/4 - F_0)}{f_1} \times h$
• Q3 (ghép nhóm):$Q3 = L_3 + \dfrac{(3N/4 - F'_0)}{f_3} \times h$
• IQR:$IQR = Q3 - Q1$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Dữ liệu có giá trị bị trùng nhiều lần: Cần sắp xếp đúng và xác định vị trí theo thống kê.
• Dữ liệu bảng tần số: Có thể dùng cách liệt kê mở rộng dữ liệu hoặc dùng công thức ghép nhóm.
• Bảng lớp không đều: Độ rộng lớp h khác nhau, dùng đúng h ứng với từng lớp.
• Yêu cầu tìm giá trị ngoại lai: Áp dụng định lý, thường sử dụng IQR để xác định giới hạn ngoại lai.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài mẫu 1: Dữ liệu rời
Dãy số liệu: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23
Tìm Q1, Q3 và IQR.

• Sắp xếp: Dãy số đã theo thứ tự tăng.
• $n = 12$
• $Q1$tại vị trí $\dfrac{12+1}{4} = 3,25$⇒ Giữa phần tử 3 (13) và phần tử 4 (14):
  $Q1 = 13 + 0,25 \times (14-13) = 13,25$
• $Q3$tại vị trí $\dfrac{3(12+1)}{4} = 9,75$⇒ Giữa phần tử thứ 9 (19) và 10 (20):
  $Q3 = 19 + 0,75 \times (20-19) = 19,75$
• $IQR = Q3 - Q1 = 19,75 - 13,25 = 6,5$

Bài mẫu 2: Dữ liệu ghép nhóm
Bảng:
| Hạng điểm | 1–5 | 5–9 | 9–13 | 13–17 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| HS | 4 | 8 | 10 | 8 |
Tìm Q1, Q3, và IQR.

• $N = 30$
• Vị trí Q1:$N/4 = 7,5$, Q3:$3N/4 = 22,5$
• Tần số tích lũy: 1–5 (4), 5–9 (12), 9–13 (22), 13–17 (30)
• Q1 nằm lớp 5–9 có:$L_1 = 5$,$F_0 = 4$,$f_1 = 8$,$h = 4$
  $\rightarrow Q1 = 5 + \dfrac{7,5-4}{8} \times 4 = 5 + 1,75 = 6,75$
• Q3 nằm lớp 13–17 có:$L_3 = 13$,$F'_0 = 22$,$f_3 = 8$,$h = 4$
  $\rightarrow Q3 = 13 + \dfrac{22,5-22}{8} \times 4 = 13 + 0,25 = 13,25$
• IQR =$13,25 - 6,75 = 6,5$

8. Bài tập thực hành

1. Cho dãy số: 7, 8, 10, 10, 13, 14, 16, 17, 18, 19. Hãy tính Q1, Q3, IQR.
2. Bảng điểm học sinh:
| Điểm | 0–2 | 2–4 | 4–6 | 6–8 | 8–10 |
| HS | 3 | 4 | 5 | 10 | 8 |
Hãy xác định Q1, Q3 và IQR.

9. Mẹo, lưu ý tránh sai lầm khi giải bài toán Q1, Q3, IQR

• Luôn sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần.
• Xác định đúng tổng số phần tử/tần số.
• Kiểm tra kỹ vị trí Q1, Q3, xem có cần lấy trung bình cộng không.
• Nếu là bảng ghép nhóm, hãy tính chính xác các giá trị tần số tích lũy và dùng đúng công thức.
• Kiểm tra lại phép tính đặc biệt là bước nội suy.
• Nhớ đơn vị của số liệu nếu đề có yêu cầu.
• Nắm chắc công thức, chú ý ký hiệu.