Chiến lược giải quyết bài toán về vị trí tương đối của hai mặt phẳng lớp 12 – Hướng dẫn chi tiết giúp bạn học giỏi Hình học không gian

1. Giới thiệu về bài toán vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong hình học không gian lớp 12, bài toán xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra, đề thi tốt nghiệp và cả khi ôn luyện thi đại học. Đây là một dạng kiến thức then chốt giúp học sinh nắm chắc về hình học không gian, khả năng tư duy logic và rèn luyện các kỹ năng giải toán phức tạp. Các bài toán này không chỉ giúp hiểu sâu về mối quan hệ giữa các mặt phẳng mà còn đào sâu khả năng xử lý phương trình tọa độ.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Bài toán về vị trí tương đối của hai mặt phẳng thường xuất hiện dưới dạng cho hai phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz:

(P): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0
(Q): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0

Bạn sẽ được yêu cầu xác định mối quan hệ không gian giữa hai mặt phẳng này, bao gồm ba trường hợp cơ bản:

• Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.

• Hai mặt phẳng cắt nhau.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán này

Cách giải bài toán vị trí tương đối của hai mặt phẳng nên được tiếp cận có hệ thống:

1. Bước 1: Xác định véc-tơ pháp tuyến của từng mặt phẳng.

1. Bước 2: So sánh véc-tơ pháp tuyến để kiểm tra tính song song.

1. Bước 3: Nếu song song, kiểm tra điều kiện để kết luận trùng hay song song không trùng.

1. Bước 4: Nếu không song song, kết luận hai mặt phẳng cắt nhau và tìm giao tuyến nếu cần.

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử cho hai mặt phẳng:

(P): 2x - y + 3z + 1 = 0
(Q): 4x - 2y + 6z - 5 = 0

Bước 1: Xác định véc-tơ pháp tuyến của từng mặt phẳng

Véc-tơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 3)$.
Véc-tơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_2} = (4, -2, 6)$.

Bước 2: So sánh véc-tơ pháp tuyến để kiểm tra song song

Hai véc-tơ pháp tuyến$\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 3)$và $\overrightarrow{n_2} = (4, -2, 6)$có tỉ số là $2: 4 = -1: -2 = 3: 6 = \frac{1}{2}$. Vậy$\overrightarrow{n_2} = 2 \overrightarrow{n_1}$.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện trùng hay song song không trùng

Thay một điểm bất kỳ của mặt phẳng (P) vào (Q):
Chọn$x=0$,$y=0$,$z=-\frac{1}{3}$là nghiệm của (P):$2 \cdot 0 - 0 + 3 \cdot (-\frac{1}{3}) + 1 = 0$.
Thay vào (Q):$4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 6 \cdot (-\frac{1}{3}) - 5 = -2 - 5 = -7 \neq 0$.
Vậy hai mặt phẳng song song và không trùng.

Bước 4: Nếu không song song, tìm giao tuyến

Nếu trong trường hợp hai mặt phẳng không có các véc-tơ pháp tuyến tỉ lệ, thì chúng cắt nhau và ta có thể giải hệ hai phương trình mặt phẳng để tìm giao tuyến.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Phương trình mặt phẳng tổng quát:$a x + b y + c z + d = 0$

• Véc-tơ pháp tuyến:$\overrightarrow{n} = (a, b, c)$

• Hai mặt phẳng song song khi$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, nhưng$\frac{d_1}{d_2}$khác giá trị này ⇒ song song không trùng.

• Nếu$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{d_1}{d_2}$⇒ hai mặt phẳng trùng nhau.

• Nếu các tỉ số không bằng nhau ⇒ hai mặt phẳng cắt nhau.

• Tìm giao tuyến: giải hệ hai phương trình mặt phẳng để tìm biểu thức tham số của giao tuyến.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

1. Hai mặt phẳng cho dưới dạng ẩn tham số: cần quy đổi về phương trình tổng quát.

1. Một mặt phẳng đi qua điểm, vuông góc hay song song một mặt phẳng khác: cần thiết lập phương trình trước khi xét vị trí tương đối.

1. Hai mặt phẳng cho qua ba điểm hoặc qua đường thẳng cạnh: cần viết phương trình mặt phẳng từ điều kiện điểm, đường thẳng, sau đó mới xác định vị trí tương đối.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập:
Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bước 1: Tìm véc-tơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n_1} = (2, -3, 1)$,$\overrightarrow{n_2} = (4, -6, 2)$Có $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$(các véc-tơ pháp tuyến cùng phương)$.

Bước 2: Kiểm tra song song hay trùng nhau

So sánh hệ số tự do:$\frac{4}{-5} \neq \frac{1}{2}$nên hai mặt phẳng song song, không trùng nhau.

Bài tập 2 (dạng cắt nhau)

Cho$(P): x - 2y + z - 1 = 0$và $(Q): 2x + y + 2z + 4 = 0$
Ta có:
$\overrightarrow{n_1} = (1, -2, 1)$,$\overrightarrow{n_2} = (2, 1, 2)$
Các tỉ số $\frac{1}{2} \neq \frac{-2}{1}$nên hai mặt phẳng cắt nhau.
Muốn tìm giao tuyến, giải hệ:

8. Bài tập thực hành

Hãy xác định vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau. Nếu cắt nhau, hãy tìm giao tuyến.

1. (a)$(P): x + 2y - 3z + 1 = 0$;$(Q): 2x + 4y - 6z - 5 = 0$

1. (b)$(P): 3x - y + z = 0$;$(Q): x + y - 2z = 0$

1. (c)$(P): 4x - 2y + z + 1 = 0$;$(Q): 2x - y + 0.5z -2 = 0$

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn viết đúng véc-tơ pháp tuyến với đúng thứ tự hệ số (a, b, c) của các ẩn x, y, z.

• Khi so sánh tỉ số, nên viết rõ ràng, tránh bỏ sót hoặc nhầm tỉ số.

• Nếu hai mặt phẳng không song song, chắc chắn chúng cắt nhau, có thể tìm giao tuyến bằng cách đưa về phương trình tham số.

• Luôn kiểm tra điều kiện trùng trước khi kết luận song song không trùng.

• Với những bài cho dữ kiện bằng điểm, đường thẳng, hãy lập phương trình mặt phẳng rồi mới xét vị trí tương đối.

• Chọn ẩn tham số để giải hệ sao cho đơn giản nhất (thường là $z = t$hoặc$y = t$).

• Cẩn thận dấu trong quá trình thay và giải hệ phương trình.

Kết luận

Việc nắm vững cách giải bài toán vị trí tương đối của hai mặt phẳng không chỉ giúp bạn làm tốt dạng hình học không gian, mà còn nâng cao khả năng tư duy và logic toán học quan trọng. Hãy thường xuyên luyện tập các dạng biến thể và chú ý các mẹo nhỏ để đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng!

Chúc các bạn học tốt!

---

Từ khóa: cách giải bài toán vị trí tương đối của hai mặt phẳng, phương pháp giải bài toán vị trí tương đối mặt phẳng, bài tập luyện tập vị trí tương đối mặt phẳng, kỹ năng hình học không gian lớp 12.