Blog

Chiến lược giải quyết bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng

Dạng toán xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng thuộc chương hình học không gian lớp 12. Đây là kiến thức trọng tâm, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ cũng như đề thi THPT Quốc gia. Hiểu và giải tốt dạng toán này giúp học sinh xây nền tảng vững chắc cho các bài toán về mặt phẳng, hình không gian, giao tuyến – từ đó ứng dụng giải quyết các bài toán thực tiễn và nâng cao.

2. Đặc điểm của dạng bài toán này

  • Hai đường thẳng trong không gian có thể cùng nằm trong một mặt phẳng (đồng phẳng) hoặc không (chéo nhau).
  • Các vị trí tương đối phổ biến: Cắt nhau, song song, trùng nhau, chéo nhau.
  • Xét định vị trí dựa vào vectơ chỉ phương, điểm thuộc và điều kiện hệ phương trình tuyến tính.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  1. Bước 1: Viết phương trình tham số của hai đường thẳng cần xét.
  2. Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của từng đường.
  3. Bước 3: Lập hệ phương trình xác định giao điểm.
  4. Bước 4: Phân tích kết quả hệ phương trình để xác định vị trí tương đối.

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử cho hai đường thẳng:

d1:{x=1+ty=2tz=3+2td_1: \begin{cases} x = 1 + t \\y = 2 - t \\z = 3 + 2t \\\end{cases}

d2:{x=2+2sy=1+sz=5+3sd_2: \begin{cases} x = 2 + 2s \\y = 1 + s \\z = 5 + 3s \\\end{cases}

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương củad1d_1u1=(1,1,2)\vec{u}_1 = (1, -1, 2)và củad2d_2u2=(2,1,3)\vec{u}_2 = (2, 1, 3).

Bước 2: Thiết lập hệ phương trình tìm giao điểm

Ta xét hệ:

\[\begin{cases} 1 + t = 2 + 2s \\ 2 − t = 1 + s \\ 3 + 2t = 5 + 3s \\\end{cases}\]

Bước 3: Giải hệ và xét các trường hợp

- Nếu hệ có nghiệm duy nhất: hai đường cắt nhau tại một điểm.

- Nếu hệ vô nghiệm: hai đường chéo nhau hoặc song song nhưng không trùng nhau.

- Nếu hệ có vô số nghiệm: hai đường trùng nhau.

Ta giải hệ trên:

Từ (1+t=2+2s)t=1+2s(1 + t = 2 + 2s) \Rightarrow t = 1 + 2s

Thayt=1+2st = 1 + 2svào phương trình thứ hai:2(1+2s)=1+s12s=1+s3s=0s=02 - (1 + 2s) = 1 + s \Rightarrow 1 - 2s = 1 + s \Rightarrow -3s = 0 \Rightarrow s = 0

ot=1+2.0=1o t = 1 + 2.0 = 1, xét tiếp phương trình thứ ba:3+2.1=5+3.05=53 + 2.1 = 5 + 3.0 \Rightarrow 5 = 5(luôn đúng).

\textbf{Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất, hai đường cắt nhau tại điểm có tọa độ:} x=1+t=2x = 1 + t = 2 , y=2t=1y = 2 - t = 1 , z=3+2t=5z = 3 + 2t = 5 .
ewline
Vậy hai đường cắt nhau tại A(2,1,5)A(2, 1, 5) .

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức viết phương trình tham số đường thẳng qua điểmA(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0)và vectơ chỉ phươngu=(a,b,c)\vec{u}=(a, b, c):
    {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct\begin{cases} x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}
  • Điều kiện song song:u1\vec{u}_1u2\vec{u}_2cùng phương tứca1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}.
  • Điều kiện cắt nhau: Hệ gồm 3 phương trình với 2 ẩn có nghiệm duy nhất.
  • Điều kiện trùng nhau: Song song và tồn tại điểm chung (hệ vô số nghiệm).
  • Điều kiện chéo nhau: Hệ vô nghiệm, vectơ chỉ phương không cùng phương.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Hai đường thẳng không cùng mặt phẳng (chéo nhau): Cần lập hệ phương trình và kiểm tra song song, sau đó kết luận nếu hệ vô nghiệm và không song song.
  • Các bài toán xác định tham số để hai đường thẳng song song/cắt nhau/chéo nhau: Thiết lập điều kiện tương ứng dựa trên vector chỉ phương và hệ phương trình.
  • Bài toán tính góc giữa hai đường thẳng: Áp dụng công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương:cosα=u1u2u1u2\cos \alpha = \left|\frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}\right|.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Cho hai đường thẳng:
d_1: \[\begin{cases} x = 1 + 2t \\y = -1 + t \\z = 2 - t \\\end{cases}\] d_2: \[\begin{cases} x = 3 - 4s \\y = 5 + 2s \\z = -2 + 3s \\\end{cases}\]
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết từng bước:

  1. Viet vector chỉ phương:u1=(2,1,1)\vec{u}_1 = (2, 1, -1),u2=(4,2,3)\vec{u}_2 = (-4, 2, 3). 2 vector không cùng phương.
  2. Lập hệ phương trình hoán vị tham số:
  3. {1+2t=34s1+t=5+2s2t=2+3s\begin{cases} 1 + 2t = 3 - 4s \\ -1 + t = 5 + 2s \\ 2 - t = -2 + 3s \\\end{cases}
  4. Giải phương trình đầu tiên:1+2t=34s2t+4s=2t=12s1 + 2t = 3 - 4s \Rightarrow 2t + 4s = 2 \Rightarrow t = 1 - 2s
  5. Từ (2):1+t=5+2st=6+2s-1 + t = 5 + 2s \to t = 6 + 2s
  6. So sánh vớitt ở trên:12s=6+2s4s=5s=541 - 2s = 6 + 2s \Rightarrow -4s = 5 \to s = -\frac{5}{4}
  7. Thays=54s = -\frac{5}{4}vào (1):t=12(54)=1+52=72t = 1 - 2 \cdot (-\frac{5}{4}) = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}
  8. Kiểm tra điều kiện thứ ba:2t=2+3s2 - t = -2 + 3s
    ewline
    272=2+3(54)32=2154=84154=2342 - \frac{7}{2} = -2 + 3(-\frac{5}{4}) \leftrightarrow -\frac{3}{2} = -2 - \frac{15}{4} = -\frac{8}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{23}{4}
    ewline
    Hai vế không bằng nhau.
    ewline
    \toHệ vô nghiệm. Hai đường thẳng là chéo nhau.

8. Bài tập thực hành tự luyện

  1. Cho
    d1:{x=3+ty=2tz=4td_1: \begin{cases} x = 3 + t \\y = 2t \\z = 4 - t \\\end{cases}
    d2:{x=1+2sy=3+sz=1+4sd_2: \begin{cases} x = 1 + 2s \\y = 3 + s \\z = 1 + 4s \\\end{cases}
    . Xác định vị trí tương đối của hai đường.
  2. Chod1:x12=y+21=z1d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{1}
    d2:{x=33sy=4+2sz=12sd_2: \begin{cases} x = 3 - 3s \\y = 4 + 2s \\z = 1 - 2s \\\end{cases}
    . Xét các giá trị sssao cho hai đường: a) Cắt nhau; b) Chéo nhau; c) Song song.
  3. Cho
    d1:{x=0+ty=12tz=2+3td_1: \begin{cases} x = 0 + t \\y = 1 - 2t \\z = 2 + 3t \\\end{cases}
    d2:{x=22sy=5+4sz=1+6sd_2: \begin{cases} x = 2 - 2s \\y = 5 + 4s \\z = -1 + 6s \\\end{cases}
    . Hai đường thẳng này có vị trí tương đối như thế nào?

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra kĩ hệ số vectơ chỉ phương: nếua1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}thì hai đường thẳng song song/trùng nhau.
  • Nếu chỉ xuất hiện nghiệm duy nhất của hệ, phải thay lại vào kiểm chứng 3 phương trình.
  • Cẩn thận khi giải hệ phương trình, tránh nhầm lẫn thứ tự biến số tt,ss.
  • Nếu có tham số k,mk,mtrong đề, nên xử lý tổng quát hoặc tách các trường hợp.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".