Blog

Lớp 12

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng (Toán 12)

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán 'Vị trí tương đối của hai đường thẳng' và tầm quan trọng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán hình học không gian lớp 12, đặc biệt ở chương về phương trình đường thẳng và mặt phẳng. Việc xác định quan hệ giữa hai đường thẳng (cắt nhau, song song, chéo nhau, trùng nhau) đóng vai trò thiết yếu trong nhiều bài toán thực hành và lý thuyết, là nền tảng để giải các bài toán về không gian 3 chiều, thiết kế kỹ thuật, vật lý, hay các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài toán vị trí tương đối thường cho ta hai đường thẳng ở dạng tham số hoặc dạng vector, yêu cầu xác định chúng song song, trùng nhau, chéo nhau hoặc cắt nhau. Các yếu tố cần chú ý gồm:
- Phương trình tham số, phương trình tổng quát hoặc dạng vector của hai đường thẳng.
- Biểu diễn vector chỉ phương, điểm nằm trên từng đường thẳng.
- Áp dụng các tiêu chí vị trí tương đối dựa trên quan hệ giữa vector chỉ phương và các điểm đặc biệt.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Bước 1: Đưa hai đường thẳng về dạng phương trình (thường là tham số hoặc vector).
  • Bước 2: Xác định vector chỉ phương của từng đường thẳng.
  • Bước 3: Xét quan hệ giữa hai vector chỉ phương (song song, không song song).
  • Bước 4: Kiểm tra xem hai đường thẳng có chung điểm, song song hay cắt/chéo nhau bằng cách giải hệ phương trình tương ứng.
  • Bước 5: Kết luận vị trí tương đối và trả lời yêu cầu của bài toán.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử, cho hai đường thẳngd1d_1và d2d_2trong hệ tọa độ Oxyz:

d1:{<br/><br/>x=x1+a1t<br/>y=y1+b1t<br/>z=z1+c1t<br/><br/>(t∈R)d_1: \left\{<br />\begin{matrix*}<br />x = x_1 + a_1 t\\<br />y = y_1 + b_1 t\\<br />z = z_1 + c_1 t<br />\\\end{matrix*}<br />\right. \quad (t \in \mathbb{R})

d2:{<br/><br/>x=x2+a2s<br/>y=y2+b2s<br/>z=z2+c2s<br/><br/>(s∈R)d_2: \left\{<br />\begin{matrix*}<br />x = x_2 + a_2 s\\<br />y = y_2 + b_2 s\\<br />z = z_2 + c_2 s<br />\\\end{matrix*}<br />\right. \quad (s \in \mathbb{R})

Ví dụ cụ thể:

Cho

d1: {<br/><br/>x=1+t<br/>y=2−t<br/>z=3+2t<br/><br/>d_1:\ \left\{<br />\begin{matrix*}<br />x = 1 + t\\<br />y = 2 - t\\<br />z = 3 + 2t<br />\\\end{matrix*}<br />\right.

d2: {<br/><br/>x=2+2s<br/>y=−1+s<br/>z=1+3s<br/><br/>d_2:\ \left\{<br />\begin{matrix*}<br />x = 2 + 2s\\<br />y = -1 + s\\<br />z = 1 + 3s<br />\\\end{matrix*}<br />\right.

Ta tiến hành các bước sau:

Bước 1: Xác định vector chỉ phương

-u⃗1=(1,−1,2)\vec{u}_1 = (1, -1, 2)-u⃗2=(2,1,3)\vec{u}_2 = (2, 1, 3)

Bước 2: Xét quan hệ giữa hai vector chỉ phương

Hai vector không cùng phương (tứcu⃗1\vec{u}_1không là bội củau⃗2\vec{u}_2và ngược lại) vì:

12≠−11≠23\frac{1}{2} \neq \frac{-1}{1} \neq \frac{2}{3}

=>u⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2không song song => hai đường thẳng không song song/trùng nhau.

Bước 3: Kiểm tra hai đường thẳng có cắt nhau không

Thiết lập phương trình:

{<br/>1+t=2+2s<br/>2−t=−1+s<br/>3+2t=1+3s<br/>\left\{\begin{matrix*}<br />1 + t = 2 + 2s \\ <br />2 - t = -1 + s \\ <br />3 + 2t = 1 + 3s<br />\\\end{matrix*}\right.

Giải hệ này, ta được:

từ PT đầu:t=2s+1t = 2s + 1
từ PT hai:2−t=−1+s⇔t+s=32 - t = -1 + s \Leftrightarrow t + s = 3(do2+1=32 + 1 = 3)

Thayt=2s+1t=2s+1vào, ta có:2s+1+s=3  ⟹  3s=2  ⟹  s=232s+1 + s = 3 \implies 3s = 2 \implies s = \frac{2}{3}
Từ đó t=2×23+1=43+1=73t=2 \times \frac{2}{3}+1=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}

Kiểm tra PT ba:3+2t=1+3s3 + 2t = 1 + 3s
3+2×73=1+3×233 + 2 \times \frac{7}{3} = 1 + 3 \times \frac{2}{3}
3+143=1+23 + \frac{14}{3} = 1 + 2
233=3\frac{23}{3} = 3không đúng!

=> Hệ vô nghiệm, hai đường thẳng không cắt nhau.

Bước 4: Kết luận

Hai đường thẳng này chéo nhau.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khiu⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2cùng phương và tồn tại hệ có nghiệm.
  • Hai đường thẳng cắt nhau khiu⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2không cùng phương và hệ phương trình toạ độ có nghiệm.
  • Hai đường thẳng chéo nhau khiu⃗1\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2không cùng phương và hệ phương trình tọa độ vô nghiệm.
  • Dùng tích có hướngu⃗1×u⃗2\vec{u}_1 \times \vec{u}_2 để tìm mặt phẳng chứa hai đường chéo nhau (nếu cần).

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các dạng biến thể bao gồm:
- Yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
- Xác định phương trình mặt phẳng chứa một trong hai đường song song hoặc cắt nhau
- Xác định vị trí tương đối khi phương trình không ở dạng tham số
Cần chuyển các đường thẳng về dạng vector/tham số, áp dụng các định nghĩa cơ bản về vị trí tương đối.

7. Bài tập mẫu với lời giải từng bước

Bài toán: Cho

d1:{<br/><br/>x=2+t<br/>y=1−2t<br/>z=4+t<br/><br/>d_1: \left\{<br />\begin{matrix*}<br />x = 2 + t\\<br />y = 1 - 2t\\<br />z = 4 + t<br />\\\end{matrix*}<br />\right.
d_2:\ \left\{
x=1+2sy=3−4sz=2+2s\begin{matrix*} x = 1 + 2s\\ y = 3 - 4s\\ z = 2 + 2s \\\end{matrix*}
\right.$Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng này.

Bước 1: Xác định vector chỉ phương:
u⃗1=(1,−2,1)\vec{u}_1 = (1, -2, 1);u⃗2=(2,−4,2)\vec{u}_2 = (2, -4, 2)

Nhận thấy tỉ số giữa các thành phần của<br/>u⃗1<br />\vec{u}_1và u⃗2\vec{u}_2 đều bằng 2:

2:1=−4:(−2)=2:12:1 = -4:(-2) = 2:1

=> Hai vector cùng phương => hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Bước 2: Kiểm tra điểm đặc biệt xem chúng có trùng nhau không. Lấy một điểm thuộcd1d_1:M(2,1,4)M(2,1,4)Kiểm tra điểmMMcó thuộcd2d_2không:x=2x=2khis=0.51+2⋅0.5=2s=0.51 + 2 \cdot 0.5 = 2,3−4⋅0.5=13 - 4 \cdot 0.5 = 1,2+2⋅0.5=32 + 2 \cdot 0.5 = 3Tạis=0.5s=0.5,x=2,y=1,z=3x=2, y=1, z=3Doz≠4z \neq 4, nên điểm này không thuộcd2d_2. Thử điểm khác cũng cho kết quả tương tự, chỉ có thể xảy ra khi không có điểm chung. => Hai đường thẳng song song (không trùng nhau).

8. Bài tập thực hành

Học sinh hãy tự làm các bài sau, xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng:
1.

d1:{x=1+ty=2tz=3−t;d2:{x=2+2sy=1+sz=1+sd_1: \left\{\begin{matrix*} x = 1 + t \\y = 2t \\z = 3 - t \\\end{matrix*} \right.; d_2: \left\{\begin{matrix*} x = 2 + 2s \\y = 1 + s \\z = 1 + s \\\end{matrix*} \right.
2.d1:x−12=y+1−1=z−21d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1};
d2:{x=2−ty=1+tz=td_2: \left\{\begin{matrix*} x = 2 - t \\y = 1 + t \\z = t \\\end{matrix*}\right.
3.d1:x=1+t,y=3−2t,z=2td_1: x = 1 + t, y = 3 - 2t, z = 2t;d2:x=2s,y=2−s,z=2+sd_2: x = 2s, y = 2 - s, z = 2 + s

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn xác định đúng vector chỉ phương và điểm đi qua từng đường thẳng.
  • Tuyệt đối không bỏ qua việc kiểm tra song song/trùng nhau trước khi xét cắt/chéo nhau.
  • Giải toàn bộ hệ phương trình toạ độ, kiểm tra đủ cả 3 phương trình.
  • Cẩn trọng với các bài cho theo dạng khác nhau (tham số, chính tắc, tổng quát), phải chuyển đổi về dạng phù hợp.
  • Nhớ rằng hai đường thẳng trong không gian có thể chéo nhau (không song song và không cắt nhau) khác với hình học phẳng.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".