Chiến lược giải quyết bài toán Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Trong chương trình Toán lớp 12, "Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng" thuộc chủ đề hình học không gian quan trọng. Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia và kiểm tra định kỳ. Bài toán không chỉ củng cố kiến thức về hình cầu và mặt phẳng mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy hình học, vận dụng các công thức khoảng cách, giải phương trình.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Bài toán vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng có 3 trường hợp chính:

• - Mặt phẳng cắt mặt cầu: Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng nhỏ hơn bán kính.
• - Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (mặt phẳng tiếp xúc/tang): Khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
• - Mặt phẳng ngoài mặt cầu: Khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính.

Bản chất của bài toán là xác định mối quan hệ giữa khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng và bán kính của mặt cầu để phân loại 3 trường hợp trên.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Bước 1: Xác định tâm$I(x_0, y_0, z_0)$và bán kính$R$của mặt cầu từ phương trình cho trước.
2. Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng và các hệ số $A, B, C, D$.
3. Bước 3: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng công thức:
4. $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
5. Bước 4: So sánh$d$với$R$ để xác định vị trí tương đối.
6. Bước 5: Viết kết luận cuối cùng về mối quan hệ.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho mặt cầu$S$:$(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 25$và mặt phẳng$(P): 2x - y + 2z - 7 = 0$. Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

1. Bước 1: Tâm mặt cầu$I(2, -1, 3)$, bán kính$R = 5$.
2. Bước 2: Hệ số mặt phẳng$A = 2, B = -1, C = 2, D = -7$.
3. Bước 3: Tính khoảng cách:
4. $d = \frac{|2.2 + (-1)(-1) + 2.3 -7|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|4 + 1 + 6 - 7|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
5. Bước 4: So sánh$d = 1.33 < R = 5$.
6. Kết luận: Mặt phẳng$(P)$cắt mặt cầu$S$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• - Công thức phương trình mặt cầu:$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$
• - Khoảng cách từ điểm $I(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng$Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• - Quy tắc so sánh: Nếu$d > R$(mặt phẳng ngoài),$d = R$(tiếp xúc),$d < R$(cắt).

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• - Mặt cầu và mặt phẳng đều cho dưới dạng tổng quát, cần chuyển đổi về dạng chuẩn.
• - Cho điểm thuộc mặt phẳng, cần xác định tham số để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.
• - Tìm tham số để mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng (dựa trên điều kiện$d = R$hoặc$d < R$).

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho mặt cầu$S$:$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 2z + 1 = 0$và mặt phẳng$(P): x - 2y + 2z + 7 = 0$. Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

1. Bước 1: Viết lại phương trình mặt cầu về dạng chuẩn:
   $x^2 + 2x + y^2 - 4y + z^2 - 2z + 1 = 0$
   $ightarrow (x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z-1)^2 - 1 + 1 = 0$
   $ightarrow (x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 5$
   Tâm $I(-1, 2, 1)$, $R = \sqrt{5}$.
2. Bước 2: Các hệ số mặt phẳng$A = 1, B = -2, C = 2, D = 7$.
3. Bước 3: Tính khoảng cách:
   $d = \frac{|(-1).1 + 2.(-2) + 1.2 + 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-1 - 4 + 2 + 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{4}{3} \approx 1.33$
4. Bước 4: So sánh$d \approx 1,33 < R \approx 2,24$.
5. Kết luận: Mặt phẳng$(P)$cắt mặt cầu$S$.

8. Bài tập thực hành để luyện tập

• - Bài 1: Cho mặt cầu$S: (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 36$và mặt phẳng$(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$. Xác định vị trí tương đối của$S$và $(P)$.
• - Bài 2: Cho mặt cầu$S: x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y + 2z + 1 = 0$và mặt phẳng$(P): 2x - y + z - 4 = 0$. Xác định khi nào hai mặt này tiếp xúc.
• - Bài 3: Cho mặt cầu$S: (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 9$và mặt phẳng$(P): 3x-2y+4z-16=0$. Xác định vị trí tương đối.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• - Luôn kiểm tra kỹ cách khai triển và hoàn thành bình phương để xác định đúng tâm và bán kính mặt cầu.
• - Chú ý dấu$\pm$trong công thức tính khoảng cách.
• - Với biến thể tìm tham số, cần nhớ rõ điều kiện tiếp xúc$d = R$.
• - Tuyệt đối không nhầm lẫn giữa tâm mặt cầu$(x_0, y_0, z_0)$và các tọa độ khác.
• - Khi mặt phẳng hoặc mặt cầu có nhiều tham số, cần tách biến đúng để chuẩn hóa phép so sánh.