Chiến lược giải quyết bài toán Viết phương trình mặt phẳng trong không gian – Hướng dẫn chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Bài toán "Viết phương trình mặt phẳng trong không gian" là một trong những chủ đề trọng tâm của hình học lớp 12 và xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững cách giải bài toán viết phương trình mặt phẳng giúp học sinh hiểu rõ về các đối tượng hình học không gian, rèn luyện khả năng tư duy logic và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn. Đây còn là nền tảng quan trọng để học tốt các chủ đề về hình học giải tích và giải bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Đặc điểm của kiểu bài này gồm:

• Thông tin bài toán thường cung cấp các dạng sau: ba điểm không thẳng hàng, một điểm và một vectơ pháp tuyến, hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song, giao của hai mặt phẳng...
• Yêu cầu: Viết phương trình chính tắc, tổng quát hay một dạng đặc biệt của mặt phẳng.
• Học sinh cần xác định được dữ kiện (tọa độ điểm, vectơ pháp tuyến) để xác định chính xác phương trình mặt phẳng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải hiệu quả bài toán viết phương trình mặt phẳng, bạn hãy áp dụng chiến lược sau:

1. Phân tích kỹ đề, nhận diện dạng bài và loại dữ kiện (điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng…).
2. Chọn công thức viết phương trình mặt phẳng phù hợp với dữ kiện.
3. Xác định: Tọa độ điểm thuộc mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hoặc ba điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng.
4. Thay số vào công thức, tính toán ra phương trình mặt phẳng.
5. Kiểm tra lại kết quả và đối chiếu với yêu cầu bài toán.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta xét từng dạng bài điển hình:

A. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm$A(x_0, y_0, z_0)$và có vectơ pháp tuyến

$$\\vec{n} = (a, b, c)$$

Công thức:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$A(1,2,-1)$, có vectơ pháp tuyến

Giải:

$$2(x-1) - 1(y-2) + 4(z+1) = 0 \\ \Rightarrow 2x - 2 - y + 2 + 4z + 4 = 0 \\ \Rightarrow 2x - y + 4z + 4 = 0$$

B. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng$A$,$B$,$C$

1. Tìm hai vectơ chỉ phương
   $$\\vec{AB}$$
   ,
   $$\\vec{AC}$$
2. Lấy tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến:
   $$\\vec{n} = \\vec{AB} \times \\vec{AC}$$
3. Dùng công thức mặt phẳng qua điểm$A$và có pháp tuyến
   $$\\vec{n}$$
   .

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A(1,0,0)$,$B(0,1,0)$,$C(0,0,1)$.

Giải:

C. Viết phương trình mặt phẳng song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng/đường thẳng cho trước

Hoặc có điểm thuộc mặt phẳng và đặc điểm song song/vuông góc:

Nếu$\alpha: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$,
- Mặt phẳng song song có pháp tuyến cùng phương:$(a_1, b_1, c_1)$
- Nếu mặt phẳng vuông góc với$\alpha$, lấy vectơ $(a_1, b_1, c_1)$làm chỉ phương của mặt phẳng mới, cần thêm điều kiện để xác định pháp tuyến.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Phương trình mặt phẳng qua điểm$A(x_0,y_0,z_0)$, pháp tuyến$(a,b,c)$:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

- Phương trình mặt phẳng tổng quát:

$ax + by + cz + d = 0$

- Cách tính vectơ pháp tuyến qua hai vectơ chỉ phương:

Nếu$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$,$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$thì
\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3-u_3v_2,\u_3v_1-u_1v_3,\u_1v_2-u_2v_1)

6. Các biến thể của bài toán và chiến lược điều chỉnh

• Cho mặt phẳng song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng đã biết: sử dụng pháp tuyến cùng hướng hoặc phối hợp với thêm một điều kiện (qua điểm, cắt mặt phẳng khác…).
• Cho mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng khác: tìm phương trình giao tuyến (lấy hai vectơ pháp tuyến rồi dùng tích có hướng tìm ra tích pháp tuyến giao tuyến), xác định một điểm thuộc giao tuyến.
• Cho mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song/vuông góc với một vectơ/mặt phẳng: bạn lấy vectơ chỉ phương của đường, phối hợp với vectơ pháp tuyến cho sẵn để lập mặt phẳng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng$(P)$ đi qua điểm$A(1,2,1)$và chứa đường thẳng$d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{3}$

Lời giải từng bước:

1. Lấy một điểm thuộc$d$, chọn$x = 1 \Rightarrow y = 0, z = -1$. Gọi$B(1, 0, -1)$thuộc$d$.
2. Tìm vectơ chỉ phương của$d$:$\vec{u} = (2,-1,3)$.
3. Xác định hai vectơ:$\vec{AB} = (0,-2,-2)$và $\vec{u} = (2,-1,3)$.
4. Lấy tích có hướng:$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{u}$
   
   
   $$\vec{n} =$$
   \begin{vmatrix*}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
   0 & -2 & -2 \\
   2 & -1 & 3
   \\\end{vmatrix*}
   = ((-2) \cdot 3 - (-2) \cdot (-1), -[0 \cdot 3-(-2) \cdot 2], 0 \cdot (-1)-(-2) \cdot 2 )
   = (-6-2, -[0-(-4)], 0-(-4)) = (-8, 4, 4)
5. Phương trình mặt phẳng$P$qua$A(1,2,1)$và pháp tuyến$(-8,4,4)$:
   
   $$-8(x-1)+4(y-2)+4(z-1)=0 \\ -8x+8+4y-8+4z-4=0 \\ -8x+4y+4z-4=0$$

8. Bài tập luyện tập

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$A(2,1,3)$và có pháp tuyến$\vec{n} = (1,-2,1)$.
2. Cho ba điểm$B(1,0,1)$,$C(0,2,1)$,$D(0,0,2)$. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm này.
3. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục$Ox$và song song với mặt phẳng$y+2z-3=0$.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán viết phương trình mặt phẳng

• Cẩn thận tính toán tích có hướng, tránh sai số dấu và thứ tự các thành phần.
• Nhớ kiểm tra bài toán có thể đưa về dạng đơn giản hơn (rút gọn hệ số, kiểm tra các vectơ có thỏa mãn cùng phương hoặc không).
• Luôn xác định rõ dữ kiện: điểm và pháp tuyến là gì, có những mối liên hệ nào với các đối tượng khác.
• Khi cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng để viết phương trình một mặt phẳng khác, hãy chọn điểm đơn giản hóa hệ phương trình càng tốt.
• Luyện tập nhuần nhuyễn từng dạng bài tập sẽ giúp giải nhanh và chính xác trong kỳ thi.