Blog

Chiến lược giải quyết bài toán xác suất có điều kiện cho học sinh lớp 12 – Cách giải bài toán xác suất có điều kiện

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán xác suất có điều kiện

Bài toán xác suất có điều kiện là một chủ đề then chốt trong chương trình Toán xác suất lớp 12. Việc vận dụng thành thạo cách giải bài toán xác suất có điều kiện giúp học sinh giải quyết tốt các dạng bài phức tạp, xử lý các tình huống khi đã biết trước thông tin về biến cố xảy ra. Nắm vững kỹ thuật này còn là nền tảng thành công trong các kỳ thi THPT Quốc gia, Olympic và khi đi sâu vào các lĩnh vực thực tế hoặc học cao hơn sau này.

2. Đặc điểm của bài toán xác suất có điều kiện

Bài toán thường cho hai biến cố AABBthuộc không gian mẫuextSext{S}. Ta cần tính xác suất của biến cố AAtrong điều kiện biến cố BBđã xảy ra hoặc ngược lại (kí hiệu làP(AB)P(A|B)hoặcP(BA)P(B|A)). Đặc điểm nhận diện:

  • Có hai (hoặc nhiều) biến cố liên quan đến nhau
  • Gắn với các từ khoá: “biết rằng”, “người ta chọn được… trong đó…”
  • Có giả thiết là một biến cố nào đó đã xảy ra

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Cách giải bài toán xác suất có điều kiện gồm 4 bước cơ bản sau:

  1. Xác định các biến cố AA,BBdựa trên đề bài
  2. Tìm xác suất của các biến cố P(A)P(A),P(B)P(B),P(AB)P(A \cap B)
  3. Áp dụng công thức xác suất có điều kiện
  4. Kết luận và kiểm tra đáp án

4. Các bước giải bài toán với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để chọn được 2 bi đỏ, biết trong 2 bi chọn ra có ít nhất 1 bi đỏ.

Bước 1: Xác định biến cố
- A: Chọn được 2 bi đỏ
- B: Trong 2 bi chọn ra có ít nhất 1 bi đỏ

Bước 2: TínhP(AB)P(A \cap B)P(B)P(B)
-ABA \cap Bchính là "chọn được 2 bi đỏ" (vì như vậy chắc chắn thoả mãn có ít nhất 1 bi đỏ).


Tổng số cách chọn 2 bi từ 8 bi:C82=28C_8^2 = 28
Số cách chọn 2 bi đỏ:C52=10C_5^2 = 10
=>P(AB)=1028=514P(A \cap B) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}

Số cách chọn 2 bi có ít nhất 1 đỏ:
- Số cách chọn 2 bi bất kỳ từ 8 bi:C82=28C_8^2 = 28.
- Số cách chọn 2 bi xanh:C32=3C_3^2 = 3.
- Số cách chọn 2 bi có ít nhất 1 đỏ:283=2528 - 3 = 25.
=>P(B)=2528P(B) = \frac{25}{28}

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:
P(AB)=P(AB)P(B)=5142528=514×2825=1025=25P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{25}{28}} = \frac{5}{14} \times \frac{28}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

Kết luận: Xác suất cần tìm là 25\frac{2}{5}.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức xác suất có điều kiện:
    P(AB)=P(AB)P(B),  P(B)>0P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \; P(B) > 0
  • Tổng xác suất (dạng chọn/phân chia):
    P(B)=iP(AiB)P(B) = \sum_{i} P(A_i \cap B)nếuA1,...,AnA_1,..., A_n là các biến cố tạo thành một hệ đầy đủ.
  • Công thức xác suất toàn phần:
    P(B)=i=1nP(BAi)P(Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)
  • Công thức Bayes:
    P(AkB)=P(BAk)P(Ak)i=1nP(BAi)P(Ai)P(A_k|B) = \frac{P(B|A_k)P(A_k)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

  • Trường hợp nhiều biến cố điều kiện lồng nhau: Áp dụng công thức xác suất toàn phần hoặc Bayes.
  • Bài toán với các khái niệm "ít nhất", "nhiều nhất": Phải tính các số trường hợp phù hợp với từng điều kiện đã cho.
  • Biến cố không gian mẫu thay đổi khi biết biến cố điều kiện đã xảy ra: Chú ý số lượng phần tử mới.
  • Bài toán có tính chuỗi chọn liên tục: Phân tích từng bước chọn, viết lại xác suất có điều kiện từng bước trước đó.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Một lớp có 7 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh chọn được có đúng 2 học sinh nữ, biết rằng trong 3 học sinh đó có ít nhất 1 nam.

- Bước 1: ĐặtAA: chọn được đúng 2 nữ.
-BB: có ít nhất 1 nam.

- Tổng số cách chọn 3 trong 15 học sinh:C153=455C_{15}^3=455.

- Số cách chọn đúng 2 nữ trong 3 người:C82×C71=28×7=196C_8^2 \times C_7^1 = 28 \times 7 = 196.

- Số cách chọn 3 người toàn nữ:C83=56C_8^3 = 56.

- Số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nam:C153C83=45556=399C_{15}^3 - C_8^3 = 455 - 56 = 399.

- Số cách chọn đúng 2 nữ (chắc chắn có 1 nam nên hợp vớiBB):196196.

Vậy
P(AB)=196/455399/455=196399P(A|B) = \frac{196 / 455}{399/455} = \frac{196}{399}

8. Bài tập thực hành

Câu 1: Từ bộ bài tú lơ khơ 52 lá, lấy ngẫu nhiên 2 lá. Tính xác suất để bài lấy được 2 lá đều là cơ, biết rằng trong 2 lá đó có ít nhất 1 lá cơ.

Câu 2: Một hộp có 6 bi vàng, 4 bi xanh. Rút lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Tính xác suất để rút được 2 viên bi có màu khác nhau, biết viên đầu tiên rút ra là màu vàng.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn xác định chính xác không gian mẫu khi đã biết điều kiện.
  • TínhP(AB)P(A \cap B)thay vì chỉ tínhP(A)P(A)hoặcP(B)P(B).
  • Cẩn thận khi đề yêu cầu "ít nhất", "nhiều nhất", cần loại trừ trường hợp không phù hợp.
  • Chia nhỏ bài toán phức tạp thành các trường hợp cơ bản để tính xác suất.
  • Kiểm tra xác suất tìm được phải bé hơn hoặc bằng 1.
  • Sử dụng hợp lý các công thức xác suất toàn phần và Bayes trong các bài toán có nhiều biến cố.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".