Chiến lược giải quyết bài toán Bài 1. Xác suất có điều kiện cho học sinh lớp 12
1. Giới thiệu về bài toán xác suất có điều kiện và tầm quan trọng
Bài toán xác suất có điều kiện là nền tảng trong chương VI chương trình toán lớp 12. Đây là chủ đề then chốt để hiểu sâu hơn về thống kê, xác suất, và các ứng dụng thực tiễn như phân tích rủi ro, dự đoán sự kiện. Việc thành thạo cách giải bài toán xác suất có điều kiện giúp học sinh tư duy logic, áp dụng hiệu quả nhiều kỹ thuật giải toán khác, đồng thời nâng cao điểm thi trong các kỳ kiểm tra cũng như kỳ thi THPT Quốc gia.
2. Đặc điểm nhận biết bài toán xác suất có điều kiện
Các đặc điểm nổi bật của bài toán này là:
- Đề bài thường nhắc đến 2 sự kiện, ví dụ "biết rằng sự kiện A xảy ra", "trong trường hợp đã xảy ra B"…
- Yêu cầu tính xác suất của một sự kiện, với giả thiết một sự kiện khác đã xảy ra.
- Ký hiệu thông thường:– xác suất A xảy ra khi B đã xảy ra.
3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán
Chiến lược tổng thể giải dạng bài này là:
- Phân tích đề bài, xác định rõ hai sự kiện A, B, và cái nào đóng vai trò "điều kiện".
- Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:(với).
- Tính: xác suất đồng thời A và B đều xảy ra.
- Tính: xác suất sự kiện điều kiện xảy ra.
- Thay các giá trị vào công thức và rút gọn kết quả.
4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa
Giả sử đề bài: Lấy ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để lá bài rút được là quân cơ (A), biết rằng đó là lá màu đỏ (B).
- Phân tích sự kiện:
- - A: "Rút được quân cơ"
- B: "Rút được bài đỏ" (gồm cơ và rô)
Ở đây, xác suất cần tìm là . - Tính: Số lá đỏ là 26 (13 cơ, 13 rô) nên.
- Tính: Quân cơ vừa là cơ vừa là đỏ, nên.
- Tính.
- Kết luận: Xác suất để rút được quân cơ, biết rằng đó là một lá bài đỏ là .
5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ
Công thức xác suất có điều kiện cần nhớ:
Các kỹ thuật bổ sung:
- Nếu bài toán nhiều điều kiện hoặc sự kiện không giao nhau, cần xác định rõ là gì.
- Sử dụng sơ đồ cây hoặc liệt kê khi nhiều trường hợp.
- Có thể vận dụng biến cố đối (hoặc tính từ tổng 1 trừ phần bù).
6. Biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược
Bài toán xác suất có điều kiện có thể xuất hiện dưới dạng:
- Đề bài cho,,và hỏihoặc ngược lại.
- Giấu biến cố giao, bắt buộc tìm bằng cách liệt kê, vẽ sơ đồ cây.
- Nhiều hơn 2 sự kiện hoặc kết hợp với định lý xác suất toàn phần, định lý Bayes.
Khi gặp biến cố phức tạp hơn, hãy chia nhỏ vấn đề, vẽ bảng hoặc sơ đồ, hoặc dùng công thức Bayes:
7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết
Bài tập: Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất rút được bi đầu tiên màu đỏ, biết rằng bi thứ hai màu đỏ.
- Gọi A: "bi đầu là đỏ", B: "bi thứ hai là đỏ". Cần tính.
- -= xác suất rút được bi thứ hai là đỏ:
- Tổng số cách rút 2 bi:.
- Số cách rút 2 bi trong đó bi thứ hai chắc chắn là đỏ:
- Bi thứ hai là đỏ: chọn 1/4 bi đỏ, bi còn lại chọn 1/9 bi còn lại bất kỳ (sau khi đã rút ra một đỏ cho vị trí số 2). Tổng:.
Nhưng thiếu tính trường hợp lặp, cần liệt kê cụ thể từng trường hợp: - Trường hợp 1: cả hai bi đều đỏ:(bi đầu đỏ, bi sau cũng đỏ).
Trường hợp 2: bi đầu xanh, bi sau đỏ: chọn 6 xanh × 4 đỏ = 24.
Tổng số trường hợp bi sau đỏ là . Nên. - Tính:
+ Tức là bi đầu đỏ, bi sau cũng đỏ. Số cách:.. - Vậy.
8. Bài tập thực hành tự luyện
- Một lớp học có 12 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh nam ở lượt thứ hai, biết rằng lượt đầu đã chọn học sinh nữ.
- Từ 1 hộp gồm 7 bi xanh, 5 bi đỏ. Lấy liên tiếp 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất bi thứ hai là đỏ, biết rằng bi đầu là xanh.
- Một túi có 2 bi trắng, 3 bi đen, 4 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất cả hai bi lấy ra đều đỏ, biết rằng bi đầu lấy là đỏ.
9. Mẹo và lưu ý tránh các sai lầm phổ biến
- Luôn xác định A, B rõ ràng. Ghi chú rõ sự kiện nào là điều kiện (cho biết đã xảy ra trước).
- Đề chú ý xác suấtkhông được bằng 0.
- Không nhầm lẫn(xác suất có điều kiện) với xác suất thông thường.
- Khi có nhiều trường hợp hoặc nhiều giai đoạn, nên vẽ sơ đồ cây.
- Nếu không chắclà gì, hãy liệt kê và kiểm tra kỹ từng trường hợp.
Kết luận
Thành thạo cách giải bài toán xác suất có điều kiện sẽ giúp học sinh lớp 12 làm chủ các bài toán xác suất hiện đại và ứng dụng tốt trong thực tiễn, đồng thời giành điểm tối đa trong các kỳ thi quan trọng.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại