Chiến lược giải quyết bài toán xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1 lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán xét tính đồng biến, nghịch biến bằng đạo hàm cấp 1

Bài toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bằng đạo hàm cấp 1 là một trong những kiến thức trọng tâm của giải tích lớp 12, giúp học sinh dự đoán và mô tả hành vi của hàm số trên từng khoảng xác định. Việc thuần thục giải quyết loại bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong ôn tập chuẩn bị cho các kỳ thi THPT Quốc gia cũng như các bài kiểm tra định kỳ.

2. Đặc điểm của bài toán xét tính đơn điệu bằng đạo hàm

Đặc trưng của loại bài toán này là yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về đạo hàm bậc nhất để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập xác định. Bài toán bao gồm các bước cơ bản: tìm tập xác định, tính đạo hàm, giải bất phương trình đạo hàm, và kết luận.

• Thường áp dụng cho các hàm số đa thức, phân thức, căn thức, lượng giác, hàm hợp.
• Kết quả biểu diễn dưới dạng các khoảng, dựa trên dấu của đạo hàm cấp 1.
• Có thể yêu cầu kết hợp với điều kiện xác định hoặc các tính chất đặc biệt.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán xét tính đồng biến, nghịch biến

Chiến lược tổng thể giải loại bài toán này gồm các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp 1$f'(x)$.
3. Tìm nghiệm của phương trình$f'(x) = 0$và điểm không xác định của$f'(x)$.
4. Lập bảng xét dấu$f'(x)$trên các khoảng xác định.
5. Rút ra các khoảng đồng biến (khi$f'(x) > 0$), nghịch biến (khi$f'(x) < 0$).

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Để minh họa cụ thể, chúng ta xét bài toán sau đây:

1. Tìm tập xác định: Hàm số là đa thức nên xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.
2. Tính đạo hàm:$y' = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.
3. Giải phương trình$y' = 0$:$3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
4. Lập bảng xét dấu đạo hàm:

→ Hàm số đồng biến trên$(-\infty, -1)$và $(1, +\infty)$; nghịch biến trên$(-1, 1)$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Nếu$f'(x) > 0$trên$(a, b)$thì $f(x)$ đồng biến trên$(a, b)$.
• Nếu$f'(x) < 0$trên$(a, b)$thì $f(x)$nghịch biến trên$(a, b)$.
• Đạo hàm một số hàm cơ bản: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(e^x)' = e^x$,...
• Phương pháp xét dấu đa thức, chia mẫu khi có hàm phân thức hoặc chứa căn.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

• Nếu hàm số phân thức, đừng quên xét cả điểm làm cho mẫu bằng 0 (loại khỏi tập xác định và bảng xét dấu).
• Nếu trong đạo hàm xuất hiện căn thức, phải kiểm tra điều kiện xác định cho cả $f(x)$và $f'(x)$.
• Hàm hợp, lượng giác: cần dùng đúng công thức đạo hàm và xét riêng các khoảng xác định.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

1. Tập xác định:$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
2. Đạo hàm:$y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$
3. Xét dấu:$(x-1)^2 > 0$với$x \neq 1$nên$y' < 0$với mọi$x \neq 1$.
4. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng$(-\infty,1)$và $(1, +\infty)$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:$y = x^4 - 4x^2 + 2$trên$eal$.
2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: $y = \sqrt{x^2-4}$ trên tập xác định.
3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:$y = \ln(x^2+1)$trên$eal$.
4. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:$y = \frac{x^2 + 2}{x+1}$trên tập xác định.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán xét tính đồng biến, nghịch biến

• Luôn xác định rõ tập xác định trước khi xét đạo hàm.
• Cẩn thận khi xét dấu đạo hàm: có thể phân tích nhân tử, chia mẫu, vẽ bảng.
• Không quên loại bỏ những giá trị làm cho đạo hàm không xác định.
• Ghi nhớ các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách chọn vài điểm bất kỳ trên mỗi khoảng đã kết luận.
• Luôn trình bày bảng xét dấu rõ ràng, biện luận từng trường hợp.