Chiến lược giải quyết bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất: y = (ax² + bx + c)/(mx + n)

1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là các hàm số có dạng$y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$, trong đó $a, b, c, m, n$là các hằng số và $m \ne 0$. Đây là một dạng hàm số rất phổ biến trong chương trình Toán 12, thường xuất hiện trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc thành thạo "cách giải bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất" không chỉ là yêu cầu của các kỳ kiểm tra, thi tốt nghiệp mà còn giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc khi học các kiến thức đại số, giải tích nâng cao hơn.

2. Đặc điểm của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Một số đặc điểm nổi bật của hàm số dạng này:

• Tập xác định: Loại trừ các giá trị $x$làm cho mẫu số $mx + n = 0$, tức là $x \ne -\frac{n}{m}$.
• Hàm thường có tiệm cận đứng tại$x = -\frac{n}{m}$.
• Hàm có tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên phụ thuộc vào bậc tử và mẫu.
• Đồ thị hàm số thường khá đặc biệt, hình dạng phức tạp hơn so với các dạng hàm phân thức đơn giản.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán

Khi gặp bài toán yêu cầu khảo sát hoặc vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$, hãy tuân theo các bước tổng thể sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tìm các tiệm cận (đứng, ngang, xiên).
3. Tính đạo hàm và giải phương trình$y' = 0$ để tìm cực trị.
4. Xét sự biến thiên, bảng biến thiên và đồ thị.
5. Xác định giao điểm với trục hoành, trục tung (nếu cần).
6. Vẽ đồ thị hàm số.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ minh họa sau: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1}$.

Bước 1: Xác định tập xác định

Mẫu số $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$không thuộc tập xác định.=> Tập xác định: $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Bước 2: Tìm các tiệm cận

• Tiệm cận đứng:$x = -1$(vì mẫu số bằng 0).
• Xét bậc tử gấp 1 so với bậc mẫu (2 > 1), hàm có tiệm cận xiên. Ta chia đa thức:
  
  $2x^2 - 3x + 1: (x + 1)$

Thực hiện phép chia:

Chia$2x^2 - 3x + 1$cho$x + 1$:

Kết quả:$2x^2 - 3x + 1 = (2x - 5)(x + 1) + 6$

Suy ra:
$<br />y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1} = 2x - 5 + \frac{6}{x + 1}<br />$

• Tiệm cận xiên:$y = 2x - 5$.

Bước 3: Tìm giao điểm với các trục

• Giao với trục Ox:$y = 0 \Rightarrow 2x^2 - 3x + 1 = 0$
• Giao với trục Oy:$x = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{1} = 1$

Giải phương trình$2x^2 - 3x + 1 = 0$ để tìm hoành độ giao điểm với Ox:
$<br />\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1<br />$
$\Rightarrow$x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$,$x_2 = \frac{3 - 1}{4} = 0.5$

Bước 4: Tìm cực trị và bảng biến thiên

Ta có $y = 2x - 5 + \frac{6}{x + 1}$, đạo hàm:

Lấy đạo hàm $y':$
$<br />y' = 2 - \frac{6}{(x+1)^2}<br />$
Cho y' = 0 \Rightarrow 2 - \frac{6}{(x+1)^2} = 0
$<br />2(x+1)^2 = 6 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 3 \Leftrightarrow x+1 = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = -1 + \sqrt{3},\ x = -1 - \sqrt{3}<br />$
Nhưng $x = -1 - \sqrt{3} < -1$ không thuộc tập xác định.

Cực trị: $x = -1+\sqrt{3}$ là điểm cực trị duy nhất trong tập xác định.

Xét dấu$y'$trên các khoảng để lập bảng biến thiên. Học sinh có thể điền bảng dưới dạng bảng số:
- Khoảng$(-\infty, -1)$và $(-1, +\infty)$
- Xác định chiều biến thiên tại từng khoảng.

Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa trên tập xác định, các tiệm cận, cực trị, giao với trục tọa độ, học sinh vẽ đồ thị đầy đủ trên hai miền trái/phải tiệm cận đứng$x = -1$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định:$mx+n \ne 0 \Rightarrow x \ne -\frac{n}{m}$.
• Tìm tiệm cận xiên: Nếu$\deg(tử) = \deg(mẫu)+1$thì tiệm cận xiên là biểu thức của phép chia.
• Đạo hàm:$y = \frac{f(x)}{g(x)} \Rightarrow y' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$.
• Cực trị: Giải$y'(x)=0$trên tập xác định.
• Phân tích thành$y = ax + b + \frac{P(x)}{mx+n}$(với$P(x)$có bậc nhỏ hơn mẫu) để tìm tiệm cận xiên, xét giới hạn tại vô cùng.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số dạng biến thể thường gặp:

• "Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước" ⇒ Kết hợp biện luận nghiệm phương trình đạo hàm.
• "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm" ⇒ Lập bảng biến thiên.
• "Khảo sát sự biến thiên trên khoảng cho trước" ⇒ Chỉ xét trong khoảng đã cho.

Ngoài ra, nếu bậc tử < bậc mẫu, hàm chỉ có tiệm cận ngang; nếu bậc tử = bậc mẫ $u + 1$, mới chia đa thức để có tiệm cận xiên.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 3}{x - 1}$.

1. Tập xác định:$x \ne 1$.
2. Tiệm cận đứng:$x = 1$.
3. Chia tử cho mẫu:$x^2 + 2x + 3 = (x + 3)(x - 1) + 6$, nên
   $y = x + 3 + \frac{6}{x - 1}$
   => Tiệm cận xiên$y = x + 3$.
4. Giao Oy:$x = 0$:$y(0) = \frac{3}{-1} = -3$.
   Giao Ox:$x^2 + 2x + 3 = 0$.
   (Không có nghiệm thực)
5. Đạo hàm $y' = 1 - \frac{6}{(x - 1)^2}$; giải $y' = 0$:
   $1 - \frac{6}{(x - 1)^2} = 0 \iff (x - 1)^2 = 6 \iff x - 1 = \pm \sqrt{6}$
   $\Rightarrow x_1 = 1+\sqrt{6}$, $x_2 = 1-\sqrt{6}$(chỉ $x_1 > 1$, $x_2 < 1$ thuộc hai khoảng khác nhau).
6. Dựng bảng biến thiên, vẽ đồ thị với các đặc điểm vừa xác định.

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{3x^2 - 4x + 5}{2x - 1}$.

Bài 2: Xét sự biến thiên và các tiệm cận của hàm số $y = \frac{4x^2 - 2x + 1}{x + 2}$.

Bài 3: Tìm tham số a để đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2ax + 1}{x + 1}$có đúng một điểm cực trị.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra tập xác định trước khi khảo sát.
• Phép chia đa thức cần thực hiện cẩn thận để phát hiện tiệm cận xiên.
• Không bỏ sót việc xét dấu đạo hàm tại các khoảng khác nhau do có tiệm cận đứng.
• Cẩn thận khi vẽ đồ thị, đảm bảo đúng hình thái biến thiên ở hai phía tiệm cận đứng.

Trên đây là chiến lược hoàn chỉnh cùng các ví dụ minh họa và bài tập mẫu về cách giải bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. Việc luyện tập nhiều dạng bài sẽ giúp học sinh thành thạo, tự tin hơn trong các kỳ kiểm tra, thi cử.