Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Xác Định Tọa Độ Vectơ Từ Hai Điểm – Dễ Hiểu Cho Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm

Trong chương trình Toán 12, chủ đề xác định tọa độ vectơ từ hai điểm xuất hiện thường xuyên ở các chương về vectơ và hình học không gian. Hiểu rõ cách giải bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các dạng bài cơ bản, ứng dụng vào việc tính toán góc, độ dài, khoảng cách, kiểm tra tính song song, vuông góc giữa các vectơ trong không gian. Đây cũng là nền tảng cần thiết cho nhiều chủ đề hình học cao hơn, luyện thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm

• Đề bài thường cho tọa độ hai điểm$A(x_A, y_A, z_A)$và $B(x_B, y_B, z_B)$.
• Yêu cầu xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$hoặc$\overrightarrow{BA}$.
• Xuất hiện trong cả bài tập phẳng (2D) và không gian (3D).
• Thường là bước khởi đầu cho các bài tập liên quan đến hệ trục tọa độ, hình học không gian.

3. Chiến lược tiếp cận tổng thể

1. Xác định rõ hai điểm cần lấy tọa độ.
2. Áp dụng công thức xác định tọa độ vectơ giữa hai điểm.
3. Kiểm tra kỹ thứ tự đầu – cuối của vectơ (hướng đi từ đâu đến đâu).
4. Vận dụng công thức vào các bài toán liên quan: kiểm tra parallel/vuông góc, tính độ dài vectơ, dựng phương trình đường thẳng,...

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử $A(x_A, y_A, z_A)$và $B(x_B, y_B, z_B)$là hai điểm trong không gian. Hãy xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.

1. Xác định rõ tọa độ hai điểm:
2. Áp dụng công thức:
3. $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Ví dụ chi tiết:

Cho$A(1,2,3)$,$B(4,0,-1)$. Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Áp dụng công thức:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4-1; 0-2; -1-3) = (3; -2; -4)$

Như vậy, tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$là $(3; -2; -4)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$
• Với bài toán 2D (mặt phẳng Oxy):$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$
• Phân biệt hướng:$\overrightarrow{AB}$khác$\overrightarrow{BA}$, và $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$
• Định lý: Hai vectơ cùng phương nếu tọa độ tỷ lệ.

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Xác định toạ độ vectơ từ hai điểm trên mặt phẳng (không gian 2D): Áp dụng đúng công thức cho 2 biến.
• Xác định toạ độ vectơ khi biết một điểm và điểm còn lại là ẩn, hoặc bài toán có tham số: Đưa về dạng tổng quát, giải phương trình.
• Ứng dụng vào tính độ dài vectơ: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
• Ứng dụng vào các bài kiểm tra song song, vuông góc: So sánh vectơ, dùng tích vô hướng, tích có hướng.

$\overrightarrow{AB}$ trong không gian với điểm $A(x_A, y_A, z_A)$ và $B(x_B, y_B, z_B)$ , thể hiện mũi tên biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng công thức $\overrightarrow{AB}=(x_B" title="Hình minh họa: Minh họa vectơ$ \overrightarrow{AB} $trong không gian với điểm$ A(x_A, y_A, z_A) $và$ B(x_B, y_B, z_B) $, thể hiện mũi tên biểu diễn vectơ$ \overrightarrow{AB} $cùng công thức$ \overrightarrow{AB}=(x_B" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

1. Bài tập: Cho$A(-1, 2, 5)$và $B(3, -1, 2)$. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$.
2. Giải:
3. Áp dụng công thức:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$
4. Vậy$\overrightarrow{AB} = (3 - (-1); -1 - 2; 2 - 5) = (4; -3; -3)$

Kết luận: Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$là $(4; -3; -3)$.

8. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho$M(2, 0, -4)$,$N(-1, 5, 2)$. Hãy xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$.

Bài 2: Cho$P(0, 2)$,$Q(-3, 6)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{PQ}$.

Bài 3: Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{EF}$nếu$E(-2,4,1)$và $F(5,-3,0)$.

Bài 4: Cho$A(1,0)$,$B(4,-2)$. Tìm$\overrightarrow{BA}$và so sánh với$\overrightarrow{AB}$.

9. Mẹo học và lưu ý tránh sai lầm

• Luôn xác định đúng thứ tự đầu-cuối của hai điểm; đảo chiều là đổi dấu từng tọa độ.
• Chú ý dấu âm khi thực hiện phép trừ tọa độ.
• Viết ngay công thức để hạn chế nhầm lẫn, hạn chế tính nhẩm.
• Sau khi lấy tọa độ vectơ, có thể kiểm tra bằng tính độ dài hai lần từ hai đầu mút.
• Rèn luyện thành thạo trên cả hai không gian (2D, 3D).

Qua bài viết này, hi vọng học sinh đã hiểu rõ về cách giải bài toán xác định tọa độ vectơ từ hai điểm, nhận diện mọi đặc điểm của bài toán, áp dụng thành thạo công thức và dễ dàng xử lý các dạng bài tập liên quan.