1. Giới thiệu về hàm phân thức và tầm quan trọng

Hàm phân thức (đặc biệt là bậc nhất/bậc nhất) là dạng hàm quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán lớp 12, các đề kiểm tra định kỳ, và đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Các bài toán về hàm phân thức giúp học sinh rèn luyện tư duy phân tích, tổng hợp, khả năng biến đổi đại số cũng như ứng dụng vào các vấn đề thực tiễn như bài toán chuyển động, kinh tế, hình học... Việc nắm vữngcách giải bài toán hàm phân thứcsẽ là chìa khóa giúp học sinh tự tin chinh phục các bài tập và phần thi liên quan.

2. Đặc điểm của bài toán hàm phân thức

• Hàm số thường có dạng tổng quát:$y = \frac{ax + b}{cx + d}$, trong đó $c <br> \neq 0$ để hàm xác định là phân thức.
• Tập xác định là $\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$, loại trừ giá trị làm mẫu số bằng 0.
• Hàm có các tính chất nổi bật: tập xác định, miền giá trị, tiệm cận (ngang, đứng), bảng biến thiên, đồ thị, và các bài toán liên quan.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm phân thức

1. Xác định chính xác dạng bài toán (tập xác định, cực trị, tiệm cận, đồ thị, bài toán thực tế, ...)
2. Thiết lập tập xác định của hàm
3. Biến đổi và rút gọn phương trình nếu cần
4. Phân tích và tìm các yếu tố đặc biệt: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, điểm đặc biệt, giá trị đặc biệt
5. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị
6. Khai thác bài toán theo yêu cầu đề (tìm nghiệm, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc giải phương trình liên quan)

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$

1. Bước 1: Tìm tập xác định
   
   Giải mẫu số $x - 3 = 0$suy ra$x = 3$.
   
   Tập xác định: $\mathbb{R} \setminus \{3\}$
2. Bước 2: Xét tiệm cận
   
   - Tiệm cận đứng tại$x = 3$
   - Tiệm cận ngang: Lấy giới hạn$\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = 2$
   
   Vậy tiệm cận ngang là $y = 2$
3. Bước 3: Tìm giao điểm với trục tọa độ
   
   - Với$y = 0$(trục hoành):$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
   - Với$x = 0$(trục tung):$y = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
   
   Giao điểm:$(-\frac{1}{2}; 0)$;$(0; -\frac{1}{3})$
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên
   
   Tính đạo hàm:$y' = \frac{(2)(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}$
   
   Vì $-7 < 0$và $(x-3)^2 > 0$luôn ngoại trừ $x=3$, nên$y' < 0$, hàm luôn nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định.
5. Bước 5: Vẽ đồ thị cơ bản
   
   - Đồ thị gồm 2 nhánh, mỗi nhánh nằm về một phía của tiệm cận đứng tại$x=3$và tiệm cận ngang$y=2$
   - Đánh dấu chính xác các điểm vừa tìm và 2 đường tiệm cận.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ x: cx + d = 0 \right\}$
• Tiệm cận đứng:$x = -\frac{d}{c}$
• Tiệm cận ngang:$y = \frac{a}{c}$(nếu bậc tử = bậc mẫu)
• Cách lấy giới hạn:$\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{ax+b}{cx+d}$
• Cách tính đạo hàm:$y' = \frac{(ax + b)' \cdot (cx + d) - (ax + b)(cx + d)'}{(cx + d)^2}$
• Tìm giao điểm với trục hoành: giải$ax + b = 0$
• Tìm giao điểm với trục tung: thay$x = 0$vào$y$

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Bên cạnh các yêu cầu cơ bản, các đề bài về hàm phân thức có thể thêm nhiều biến thể:

• Bài toán cực trị giới hạn trong miền: Phân tích kỹ tập xác định, tìm cực trị nếu có (phương pháp đạo hàm).
• Bài toán tương giao giữa hai đồ thị: Lập phương trình hoành độ giao điểm$\frac{ax+b}{cx+d} = m$hoặc với hàm số khác.
• Tìm tham số để đồ thị có tính chất đặc biệt (cắt trục$Oy$, đi qua điểm cố định...): Lập phương trình theo tham số và giải.
• Bài toán ứng dụng thực tế: Biểu diễn bài toán thực tế về chuyển động, kinh tế, v.v... qua phân thức, giải theo các bước như trên nhưng chú trọng giải thích ý nghĩa thực tiễn.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hàm số $y=\frac{3x-2}{x+4}$. a/ Tìm tập xác định. b/ Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang. c/ Tìm giao điểm với các trục tọa độ. d/ Lập bảng biến thiên và sơ đồ đồ thị.

8. Bài tập thực hành

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra mẫu số tránh chia cho 0 khi tìm tập xác định và các điểm đặc biệt.
• Khi lập bảng biến thiên cần xét đầy đủ hai phía của điểm loại khỏi tập xác định (vị trí tiệm cận đứng).
• Cẩn thận khi lấy giới hạn để tìm tiệm cận ngang (rút gọn tử và mẫu theo biến bậc cao nhất).
• Nhớ đạo hàm luôn có mẫu số không âm ngoại trừ giá trị không xác định.
• Vẽ đồ thị nên xác định các điểm đặc biệt: giao điểm các trục, các điểm cắt, tiệm cận, để không bị nhầm lẫn về vị trí nhánh đồ thị.

Kết luận

Bài toán về hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không đơn thuần là hình thức lý thuyết mà mang tính ứng dụng cao, giúp nâng cao khả năng tư duy và vận dụng toán học vào thực tế. Nắm vững từng bước cũng như các mẹo giải nhanh sẽ giúp bạn chủ động và tự tin khi gặp dạng bài này trong bất cứ bài kiểm tra hay kỳ thi nào.