1. Giới thiệu về bài toán hàm logarit và tầm quan trọng

Hàm logarit là một trong những chủ điểm quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán lớp 12 và xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cũng như các kỳ thi tuyển sinh đại học. Việc thành thạo cách giải bài toán hàm logarit giúp học sinh không chỉ giải quyết tốt các bài toán trong phạm vi kiến thức phổ thông mà còn là nền tảng vững chắc cho toán học đại học và nhiều lĩnh vực ứng dụng thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm logarit

• Hàm logarit thường xuất hiện ở dạng phương trình, bất phương trình, hàm số hoặc tích phân, giới hạn.
• Yêu cầu điều kiện xác định (đối số của logarit luôn > 0).
• Các bài toán hàm logarit thường đòi hỏi vận dụng linh hoạt công thức, tính chất logarit và khả năng biến đổi biểu thức.
• Bài toán có thể lồng ghép với nhiều chủ đề khác như tìm max/min, giải phương trình mũ-logarit, khảo sát hàm số, tính nguyên hàm, tích phân...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm logarit

- Xác định loại bài toán (giải phương trình, bất phương trình, khảo sát, tích phân, ...)

- Viết và kiểm tra điều kiện xác định cho toàn bộ bài toán (các đối số logarit lớn hơn 0, cơ số khác 1 và lớn hơn 0).

- Áp dụng các công thức cơ bản và tính chất logarit để biến đổi biểu thức về dạng dễ giải hơn.

- Biến đổi, nhóm các logarit về cơ số chung hoặc sử dụng phép biến đổi lôgarit về ẩn một phía.

- Giải phương trình/ bất phương trình hoặc thực hiện các phép tính theo yêu cầu.

- Đối chiếu với điều kiện xác định để loại nghiệm không thoả mãn.

4. Các bước giải bài toán hàm logarit (minh họa ví dụ cụ thể)

Xét ví dụ giải phương trình logarit cơ bản:

Ví dụ 1: Giải phương trình$\log_2 (x - 1) = 3$

1. Bước 1: Xác định điều kiện xác định
   $\to x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
2. Bước 2: Chuyển phương trình logarit về phương trình ẩn$x$
   $\to x-1 = 2^3 = 8$
3. Bước 3: Giải phương trình$\Rightarrow x = 9$. Kết luận$x = 9$thỏa mãn$x>1$.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình$\log_3 (2x - 1) \geq 2$

1. Bước 1: Điều kiện xác định$2x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$
2. Bước 2: Giải bất phương trình
   $2x - 1 \geq 3^2 = 9$
   $\to 2x \geq 10 \to x \geq 5$
3. Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định
   $x > \frac{1}{2}$và $x \geq 5$nên nghiệm là $x \geq 5$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$(định nghĩa logarit)
• $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$
• $\log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N$
• $\log_a M^k = k \log_a M$
• $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$(đổi cơ số)
• Điều kiện xác định: Đối số của logarit lớn hơn 0, cơ số > 0, cơ số ≠ 1.

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Phương trình logarit nhiều ẩn, nhiều logarit: Sử dụng biến đổi đồng nhất về cùng cơ số, nhóm lại hoặc đặt ẩn phụ, sử dụng phương pháp đặt$u = \log_a x$ để về phương trình bậc nhất, bậc hai.
• Bất phương trình logarit: Cực kỳ chú ý điều kiện xác định và xét dấu biểu thức, vẽ bảng xét dấu nếu cần.
• Hàm hợp logarit-đa thức hoặc hàm mũ-logarit: Nhận diện dạng bài, áp dụng khảo sát hàm, tìm cực trị với đạo hàm.
• Tích phân logarit: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phân tích hoặc đổi biến thích hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Ví dụ 3: Giải phương trình$\log_2(x^2-4x+5) = 2$

1. Bước 1. Điều kiện xác định:$x^2 - 4x + 5 > 0$.
   Ta có $x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 > 0$với mọi$x$.
2. Bước 2.$x^2 - 4x + 5 = 2^2 = 4$.
3. Bước 3.$x^2 - 4x + 5 = 4 \to x^2 - 4x + 1 = 0 \to x^2 - 4x + 1 = 0$.
4. Giải phương trình: $x^2 - 4x + 1 = 0 \to x = 2 \pm \sqrt{3}$.

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện xác định. Vậy nghiệm là $x = 2 + \sqrt{3}$, $x = 2 - \sqrt{3}$.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình$\log_2(x^2 - 2x) < 3$.

1. Bước 1: Điều kiện xác định:$x^2 - 2x > 0 \to x(x-2) > 0 \to x < 0$hoặc$x > 2$.
2. Bước 2:$\log_2(x^2-2x) < 3 \to x^2-2x < 8$.
3. Bước 3: Kết hợp với điều kiện xác định:
   - Với$x < 0$:$x^2 - 2x < 8 \to x^2 - 2x - 8 < 0 \to (x-4)(x+2) < 0 \to -2 < x < 4$
   Kết hợp$x < 0$và $-2 < x < 4 \to -2 < x < 0$
   - Với$x > 2$:
   $2 < x < 4$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $-2 < x < 0$hoặc$2 < x < 4$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Giải các phương trình logarit sau:
   a)$\log_3(x+2) = 2$
   b)$\log_5(x - 1) + \log_5(x + 4) = 1$
2. Giải bất phương trình sau:
   a)$\log_2 (4x - x^2) \geq 1$
3. Rút gọn biểu thức logarit:
   a)$\log_2 8 + 2\log_2 3 - \log_2 9$
   b)$\log_a b + \log_a c - \log_a (b^2c)$

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xét ĐẦY ĐỦ điều kiện xác định (không làm hoặc thiếu là lỗi rất phổ biến!)
• Cẩn thận khi rút gọn và chuyển vế: các biểu thức phải xác định, không chia cho 0, cơ số logarit phải hợp lệ.
• Nhớ rằng$\log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c$và cả 2 đều dương
• Nên thuần thục các dạng bài mẫu, luyện tập thường xuyên để thuộc công thức và các bước giải.
• Khi bài toán có nhiều logarit, hãy cố gắng đưa về cùng cơ số hoặc nhóm lại để đơn giản hóa.