Công thức xác suất toàn phần – Giải thích, ví dụ & bài tập cho lớp 12

1. Giới thiệu về công thức xác suất toàn phần

Trong chương trình Toán lớp 12, xác suất là một chuyên đề quan trọng, có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn đời sống và nhiều lĩnh vực khoa học khác. "Công thức xác suất toàn phần" giúp ta giải quyết những bài toán xác suất phức tạp bằng cách chia nhỏ không gian mẫu thành từng phần đơn giản hơn, nhờ đó quá trình tính toán trở nên rõ ràng, hợp lý. Việc nắm vững công thức này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi, đặc biệt là thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa công thức xác suất toàn phần (CHÍNH XÁC)

Giả sử $B_1, B_2, \ldots, B_n$ là một hệ các biến cố tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu $\Omega$ (nghĩa là các biến cố $B_i$ đôi một không giao nhau, $\forall i \ne j: B_i \cap B_j = \varnothing$ và ghép lại thì đầy đủ: $B_1 \cup B_2 \cup \cdot s \cup B_n = \Omega$ ), đồng thời $P(B_i) > 0$ với mọi $i$ .

Khi đó, với một biến cố $A$ bất kỳ, xác suất xảy ra của $A$ được tính theo công thức xác suất toàn phần:

Công thức tổng quát:

P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \cdots + P(A \cap B_n)

Dựa vào công thức xác suất có điều kiện: $P(A \cap B_i) = P(A|B_i) \cdot P(B_i)$ (với $P(B_i)>0$ ), nên:

P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \cdots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)

Hoặc ngắn gọn hơn:

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i) $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ công thức, hãy cùng xét một ví dụ đơn giản:

Ví dụ: Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lần lượt thực hiện hai thao tác: chọn ngẫu nhiên một hộp (hộp A chứa 4 bi đỏ; hộp B chứa 6 bi xanh), rồi rút 1 viên bi từ đó. Xác suất để rút được một viên bi đỏ là bao nhiêu, biết rằng xác suất chọn mỗi hộp đều bằng nhau?

Giải chi tiết:

- Gọi

A

là biến cố lấy được viên bi đỏ.

B_1

là chọn hộp A;

B_2

là chọn hộp B.

P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}

(vì chọn ngẫu nhiên mỗi hộp).

P(A|B_1) = 1

(vì hộp A toàn bi đỏ)

P(A|B_2) = 0

(vì hộp B toàn bi xanh)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Vậy xác suất rút được bi đỏ là $\frac{1}{2}$ .

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Các biến cố

B_1, B_2,..., B_n

phải tạo thành phân hoạch của không gian mẫu (tức là không trùng nhau, phủ hết các trường hợp có thể xảy ra).

- Các xác suất

P(B_i)

phải lớn hơn 0 để xác suất có điều kiện được xác định.

- Trường hợp biến cố

A

độc lập với các

B_i

, khi đó

P(A|B_i) = P(A)

, công thức toàn phần trở thành

P(A) = P(A) \cdot \sum_{i=1}^n P(B_i) = P(A) \cdot 1 = P(A)

- Đôi khi biến cố

A

và

B_i

không độc lập và

P(A|B_i)

phải được tính riêng cho từng trường hợp.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Công thức xác suất toàn phần là nền tảng để thiết lập công thức Bayes (dùng để tính xác suất đảo)

- Phân hoạch không gian mẫu và xác suất có điều kiện là hai khái niệm liên quan mật thiết.

- Trong thống kê và nhiều bài toán xác suất thực tế, công thức này cho phép chuyển bài toán tổng quát về nhiều bài toán nhỏ riêng biệt.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1. (Thi THPT Quốc gia)

Có ba máy sản xuất cùng một loại chi tiết. Xác suất để chi tiết do máy I, II, III sản xuất là 0.2, 0.3 và 0.5. Xác suất để một chi tiết do máy I, II, III sản xuất bị lỗi lần lượt là 0.01; 0.02; 0.03. Chọn ngẫu nhiên một chi tiết, tính xác suất chi tiết đó bị lỗi?

Giải:

B_1

: Chọn máy I,

P(B_1)=0.2

B_2

: Chọn máy II,

P(B_2)=0.3

B_3

: Chọn máy III,

P(B_3)=0.5

A

: Chi tiết bị lỗi

P(A|B_1) = 0.01

P(A|B_2) = 0.02

P(A|B_3) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = 0.01 \times 0.2 + 0.02 \times 0.3 + 0.03 \times 0.5 = 0.002 + 0.006 + 0.015 = 0.023

Vậy xác suất lấy phải chi tiết bị lỗi là 0.023.

Bài 2.

Một học sinh có ba hộp kẹo: hộp A có 5 viên, B có 7 viên, C có 8 viên. Mỗi hộp đều có một viên kẹo chua; còn lại đều là kẹo ngọt. Bạn ấy chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy ngẫu nhiên một viên kẹo từ hộp đó. Tính xác suất chọn được viên kẹo chua.

Giải:

B_1

: Chọn hộp A

\rightarrow P(B_1)=\frac{1}{3}

B_2

: Chọn hộp B

\rightarrow P(B_2)=\frac{1}{3}

B_3

: Chọn hộp C

\rightarrow P(B_3)=\frac{1}{3}

A

: Lấy được viên kẹo chua.

P(A|B_1) = \frac{1}{5}

P(A|B_2) = \frac{1}{7}

P(A|B_3) = \frac{1}{8}

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} $$P(A) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24}$$

P(A) = \frac{56 + 40 + 35}{840} = \frac{131}{840} $$P(A) = \frac{56 + 40 + 35}{840} = \frac{131}{840}$$

Vậy xác suất lấy được viên kẹo chua là $\frac{131}{840}$ .

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không chia đúng phân hoạch không gian mẫu.

- Các

B_i

có thể chồng lấp hoặc không phủ hết không gian mẫu.

- Quên rằng

P(B_i)>0

để xác suất có điều kiện xác định.

- Nhầm lẫn giữa xác suất có điều kiện và xác suất độc lập.

- Tính xác suất

P(A|B_i)

không đúng, cần đọc kỹ đề bài để xác định đúng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Công thức xác suất toàn phần giúp tính xác suất của một biến cố dựa vào phân hoạch hợp lý không gian mẫu.

- Công thức: $P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)$ với các $B_i$ là phân hoạch của $\Omega$ , $P(B_i)>0$ .

- Công thức này là nền tảng cho công thức Bayes và nhiều bài toán xác suất quan trọng.

- Hãy luôn gắn các sự kiện $B_i$ với thực tế để phân hoạch đúng, tránh mắc lỗi khi áp dụng.

Blog

Công thức xác suất toàn phần – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về công thức xác suất toàn phần

2. Định nghĩa công thức xác suất toàn phần (CHÍNH XÁC)

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về công thức xác suất toàn phần

2. Định nghĩa công thức xác suất toàn phần (CHÍNH XÁC)

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi