Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Trong chương trình Toán học lớp 12, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn như thống kê, phân tích dữ liệu và học máy. Hai công cụ cơ bản trong nội dung này là công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Bài viết sẽ giúp các em hiểu rõ khái niệm, cách áp dụng và tránh những lỗi thường gặp.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Công thức xác suất toàn phần cho phép ta tính xác suất của một biến cố khi biết một tập hợp các trường hợp cơ bản (lớp toàn phần) phân rã hoàn chỉnh không giao nhau. Công thức Bayes giúp “đảo ngược” điều kiện, cho biết xác suất của một nguyên nhân dựa trên kết quả quan sát.

2. Định nghĩa chính xác

Giả sử trong một không gian xác suất, ta có biến cố $A$và một lớp toàn phần gồm$n$biến cố $\{B_1,B_2,\dots,B_n\}$thỏa mãn:

- Các biến cố $B_i$phân biệt đôi một ($B_i \cap B_j=\emptyset$với$i<br> \neq j$).

- Tập hợp$\{B_1,\dots,B_n\}$bao phủ toàn bộ không gian ($\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega$).

Công thức xác suất toàn phần phát biểu:

$P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i).$

Trong đó $P(A\mid B_i)$là xác suất có điều kiện của$A$khi$B_i$xảy ra và $P(B_i)$là xác suất của$B_i$.

Công thức Bayes cho biến cố $B_j$trong lớp toàn phần dựa trên$A$ được cho bởi:

$P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta tiến hành các bước sau:

Bước 1: Xác định lớp toàn phần$\{B_1,\dots,B_n\}$phân rã và bao phủ không gian.

Bước 2: Tính xác suất có điều kiện$P(A\mid B_i)$và xác suất$P(B_i)$.

Bước 3: Áp dụng công thức $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)P(B_i)

Và nếu cần xác suất ngược, dùng công thức Bayes.

Ví dụ: Có hai túi bi. Túi 1 chứa 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi 2 chứa 1 bi đỏ, 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một túi (có xác suất đều nhau) và rút một bi. Gọi$A$là biến cố “rút được bi đỏ”.

- Lớp toàn phần:$B_1$là chọn túi 1,$B_2$là chọn túi 2.

-$P(B_1)=P(B_2)=\tfrac12$,$P(A\mid B_1)=\tfrac{3}{5}$,$P(A\mid B_2)=\tfrac{1}{5}$.

Áp dụng công thức toàn phần:

$P(A)=\tfrac12 \cdot \tfrac{3}{5}+\tfrac12 \cdot \tfrac{1}{5}=\tfrac{2}{5}.$

Để tính xác suất túi 2 đã được chọn khi biết rút được bi đỏ, dùng Bayes:

$P(B_2\mid A)=\frac{P(A\mid B_2)P(B_2)}{P(A)}=\frac{(1/5)(1/2)}{2/5}=\tfrac{1}{4}.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu các biến cố $B_i$không phân rã đôi một hoặc không bao phủ toàn bộ, công thức không còn đúng.

- Khi lớp toàn phần quá lớn, chỉ chọn các biến cố trọng yếu để đơn giản hóa tính toán.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Cả hai công thức dựa trên định nghĩa xác suất có điều kiện$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Chúng cũng là nền tảng cho phân phối hậu nghiệm trong thống kê Bayes và các bài toán ước lượng.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho ba hộp đựng bóng: hộp 1 có 2 đỏ, 3 xanh; hộp 2 có 1 đỏ, 1 xanh; hộp 3 có 4 đỏ, 2 xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rút một bóng. Tính xác suất rút được bóng đỏ và xác suất bóng đến từ hộp 3 nếu biết bóng đỏ.

Giải: Gọi$B_i$là chọn hộp thứ $i$. Ta có $P(B_i)=\tfrac13$. Xác suất rút đỏ từ hộp 1,2,3 lần lượt là $2/5,1/2,4/6=2/3$.

Bài tập 2: Trong xét nghiệm y tế, xác suất một người thực sự mắc bệnh là 1%. Xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 99% nếu mắc bệnh và 5% nếu không mắc. Tính xác suất thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương.

Giải: Gọi$B_1$người mắc,$B_2$người không mắc,$A$dương tính.$P(B_1)=0.01,P(B_2)=0.99,P(A\mid B_1)=0.99,P(A\mid B_2)=0.05$.

$P(B_1\mid A)=\frac{0.99 \times 0.01}{0.99 \times 0.01+0.05 \times 0.99} \approx 0.167.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa$P(A\mid B)$và $P(B\mid A)$. Luôn kiểm tra điều kiện đứng sau dấu “|”.

- Quên đảm bảo lớp toàn phần phân rã và bao phủ toàn bộ không gian.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Công thức xác suất toàn phần: $P(A)=\sum_{i=1}^nP(A\mid B_i)P(B_i).$

- Công thức Bayes: $P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^nP(A\mid B_i)P(B_i)}.$

Các em cần nắm vững các bước xác định biến cố và áp dụng công thức đúng để giải quyết các bài toán xác suất có điều kiện.