Điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của điều kiện hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc

Vectơ là một phần rất quan trọng của toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học và vật lý. Việc hiểu rõ điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc giúp học sinh giải quyết các bài toán về đường thẳng, mặt phẳng trong không gian cũng như các ứng dụng thực tiễn như xác định phương chuyển động, lực tác động,... Trong chương trình Toán 12, phần này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi học kỳ và đặc biệt quan trọng trong các kỳ thi đại học.

2. Định nghĩa chính xác: Hai vectơ cùng phương và vuông góc

Hai vectơ được gọi làcùng phươngnếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song, hay nếu tồn tại một số thực$k$sao cho$\vec{a} = k\vec{b}$.

Hai vectơ được gọi làvuông gócnếu tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

3. Điều kiện cùng phương và vuông góc của hai vectơ qua từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử cho hai vectơ $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$trong không gian.

-Điều kiện cùng phương:Hai vectơ cùng phương khi tồn tại số $k$sao cho$\vec{a} = k \vec{b}$. Điều này tương đương với các tỉ số sau bằng nhau:

$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k \quad (b_i \neq 0)$

Nếu một hoặc nhiều thành phần bằng 0, cần xét từng trường hợp cụ thể.

-Điều kiện vuông góc:Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tức là:

a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2; 4; 6)$và $\vec{b} = (1; 2; 3)$. Tìm mối quan hệ giữa$\vec{a}$và $\vec{b}$.

Ta thấy$\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$. Vậy$\vec{a}$cùng phương với$\vec{b}$, vì $\vec{a} = 2\vec{b}$.

Ví dụ 2: Cho$\vec{a} = (1; -2; 3)$và $\vec{b} = (2; x; 7)$. Tìm$x$ để hai vectơ vuông góc.

Giải: Ta có:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1.2 + (-2)x + 3.7 = 2 - 2x + 21 = 23 - 2x$. Hai vectơ vuông góc$\Leftrightarrow 23-2x=0 \Leftrightarrow x=11.5$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu một vectơ là vectơ không ($\vec{0}$), thì nó vừa cùng phương, vừa vuông góc với mọi vectơ khác. Tuy nhiên, trường hợp này thường được loại trừ khi xét tính chất hình học thực sự.

• Khi một thành phần của hai vectơ bằng 0, cần linh hoạt chuyển điều kiện cùng phương sang kiểm tra định thức

• Không xét tỉ số có mẫu số bằng 0, cần đặc biệt chú ý phân tích từng trường hợp riêng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Điều kiện cùng phương dùng để kiểm tra hai đường thẳng có song song không, hay một vectơ có nằm trên đường chỉ phương của mặt phẳng không.

- Điều kiện vuông góc sử dụng trong xác định hai đường thẳng vuông góc, mặt phẳng vuông góc và chứng minh vuông góc trong hình học không gian.

- Liên hệ với phương trình tham số của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, tìm góc giữa hai vectơ,...

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{u} = (x; 2x; 3)$;$\vec{v} = (2; 4; 6)$. Tìm$x$ để hai vectơ cùng phương.

Giải: Hai vectơ cùng phương khi$\frac{x}{2} = \frac{2x}{4} = \frac{3}{6}$.

$\frac{x}{2} = \frac{2x}{4} \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{x}{2}$(luôn đúng với$x \neq 0$)

$\frac{x}{2} = \frac{3}{6} \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1$

Vậy$x=1$.

Bài tập 2: Cho$\vec{a} = (2; -1)$,$\vec{b} = (k; 4)$trong mặt phẳng. Xác định$k$ để hai vectơ vuông góc.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2k + (-1).4 = 2k - 4$Hai vectơ vuông góc$\Leftrightarrow 2k-4=0 \Leftrightarrow k = 2$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa cùng phương và vuông góc dựa trên các phép toán (như dùng tích vô hướng cho cùng phương, hoặc tỉ số cho vuông góc).

• Bỏ qua trường hợp thành phần bằng 0, không rà soát kỹ từng điều kiện tỉ số.

• Chia cho 0 khi tính tỉ số các thành phần của vectơ.

$\rightarrow$Khi giải nên luôn kiểm tra kỹ các mẫu số, ưu tiên chuyển sang so sánh định thức hoặc lập hệ phương trình khi cần.

8. Tóm tắt: Các điểm chính cần nhớ

• Hai vectơ cùng phương ⇔$\vec{a} = k\vec{b}$⇔$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$(nếu$b_i \neq 0$).
• Hai vectơ vuông góc ⇔$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$⇔$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$(không phân biệt mọi thành phần).
• Luôn kiểm tra kỹ các điều kiện về mẫu số, trường hợp thành phần bằng 0.
• Điều kiện này có ý nghĩa lớn trong xác định song song, vuông góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng, giải các bài toán hình học không gian.

Kiến thức về điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc là nền tảng để học tốt hình học không gian và vận dụng linh hoạt giải các bài toán phức tạp hơn.