Blog

Điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc: Giải thích chi tiết và hướng dẫn cho lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 12, việc nắm vững các điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc là vô cùng quan trọng. Đây không chỉ là kiến thức nền tảng trong hình học giải tích mà còn là công cụ hữu ích khi giải các bài toán hình học không gian, vectơ trong tọa độ Oxyz, chứng minh hình học, và cả trong vật lý (phân tích lực). Nếu hiểu rõ và vận dụng tốt hai điều kiện này, các em sẽ thuận lợi hơn rất nhiều trong học tập và khi tham dự các kỳ thi quan trọng.

2. Định nghĩa chính xác của cùng phương và vuông góc

- Hai vectơ gọi là cùng phương khi chúng có giá (đường thẳng mang vectơ) song song hoặc trùng nhau, nói cách khác, chúng có cùng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ vuông góckhi góc giữa hai vectơ là 9090^\circ.

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc (dạng tọa độ)

Giả sử hai vectơ a=(a1,a2,a3)\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)b=(b1,b2,b3)\vec{b} = (b_1, b_2, b_3). Khi đó:

+ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ a\vec{a}b\vec{b}cùng phương khi tồn tại số thựckk(k khác 0) sao choa=kb\vec{a} = k\vec{b}. Hay các thành phần tương ứng tỉ lệ:

<br/>a1b1=a2b2=a3b3<br/><br />\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}<br />

Chú ý: Nếu một trong ba thành phần bằng 0, phải xét tương ứng. (Tránh chia cho 0).

+ Điều kiện để hai vectơ vuông góc:

Hai vectơ a\vec{a}b\vec{b}vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0:

<br/>a1b1+a2b2+a3b3=0<br/><br />a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0<br />

4. Giải thích và ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hai vectơ <br/>a=(2;4;6)<br />\vec{a} = (2; 4; 6)b=(1;2;3)\vec{b} = (1; 2; 3).

Ta có:
<br/>21=2,42=2,63=2<br/><br />\frac{2}{1} = 2, \,\, \frac{4}{2} = 2, \,\, \frac{6}{3} = 2<br />

Vậya\vec{a}b\vec{b}cùng phương.

Ví dụ 2: Xét hai vectơ a=(1;2;3)\vec{a} = (1; -2; 3)b=(2;1;k)\vec{b} = (2; 1; k).

Tìmkkđểa\vec{a}b\vec{b}vuông góc.

Áp dụng điều kiện tích vô hướng:

<br/>12+(2)1+3k=0<br/>22+3k=0<br/>0+3k=0<br/>k=0<br/><br />1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 3k = 0 \\<br />2 - 2 + 3k = 0 \\<br />0 + 3k = 0 \\<br />k = 0<br />

Vậyk=0k = 0.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu vectơ bằng vectơ không(0;0;0)(0; 0; 0)thì theo định nghĩa, vectơ không cùng phương với bất kỳ vectơ nào (trừ bản thân nó); đồng thời không xác định được phương hoặc vuông góc với các vectơ khác.

- Khi kiểm tra điều kiện cùng phương, chú ý không được chia cho thành phần bằng 0 - cần xét riêng trường hợp này, chẳng hạn nếub1=0b_1 = 0thì bắt buộca1=0a_1 = 0, sau đó mới lập tỉ số ở hai thành phần còn lại.

- Trong hệ tọa độ Oxy (hai chiều), hai vectơ a=(a1,a2)\vec{a} = (a_1, a_2)b=(b1,b2)\vec{b} = (b_1, b_2)cùng phương khia1b2a2b1=0a_1b_2 - a_2b_1 = 0(tích có hướng). Vuông góc khia1b1+a2b2=0a_1b_1 + a_2b_2 = 0.

Hình minh họa: Biểu đồ cột so sánh thành phần của vectơ <span class= a=(2,4,6)\vec{a}=(2,4,6) b=(1,2,3)\vec{b}=(1,2,3) với tỉ số thành phần \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2 , chứng minh hai vectơ cùng phương" title="Hình minh họa: Biểu đồ cột so sánh thành phần của vectơ a=(2,4,6)\vec{a}=(2,4,6) b=(1,2,3)\vec{b}=(1,2,3) với tỉ số thành phần \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2 , chứng minh hai vectơ cùng phương" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
Biểu đồ cột so sánh thành phần của vectơ a=(2,4,6)\vec{a}=(2,4,6) b=(1,2,3)\vec{b}=(1,2,3) với tỉ số thành phần \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2 , chứng minh hai vectơ cùng phương

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Kỹ năng nhận biết hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc hỗ trợ trực tiếp cho việc giải các bài toán về phương trình đường thẳng, mặt phẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài toán về góc giữa hai đường thẳng... trong không gian Oxyz.

- Trong vật lý, điều kiện vuông góc được dùng để tìm các lực vuông góc (thành phần lực), xác định công cơ học hoặc giải bài toán về chuyển động.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hai vectơ a=(4;2;8)\vec{a} = (4; -2; 8)b=(2;1;4)\vec{b} = (2; -1; 4). Chứng minh chúng cùng phương.

Giải:
<br/>42=2,21=2,84=2<br/><br />\frac{4}{2} = 2, \quad \frac{-2}{-1} = 2, \quad \frac{8}{4} = 2<br />
Vậya\vec{a}cùng phươngb\vec{b}.

Bài 2: Tìmkkđể hai vectơa=(2;5;k)\vec{a} = (2; 5; k)b=(1;2;3)\vec{b} = (1; -2; 3)vuông góc.

Giải:

<br/>21+5(2)+k3=0<br/>210+3k=0<br/>8+3k=0<br/>3k=8<br/>k=83<br/><br />2 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) + k \cdot 3 = 0 \\<br />2 - 10 + 3k = 0 \\<br />-8 + 3k = 0 \\<br />3k = 8 \\<br />k = \frac{8}{3}<br />

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, xét hai vectơ u=(3;2)\vec{u} = (3; 2),v=(6;4)\vec{v} = (6; 4). Chứng minh chúng cùng phương.

Giải:
<br/>3426=1212=0<br/><br />3 \cdot 4 - 2 \cdot 6 = 12 - 12 = 0<br />
Vậyu\vec{u}cùng phương vớiv\vec{v}.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Chia cho thành phần bằng 0 khi thiết lập tỉ số cùng phương. Cần kiểm tra và xét trường hợp riêng với các thành phần bằng 0.

- Hiểu nhầm điều kiện vuông góc là tổng các thành phần bằng 0 (không đúng); cần nhớ phải dùng tích vô hướng.

- Quên kiểm tra vectơ không khi kiểm tra cùng phương - vectơ không không cùng phương với bất kỳ vectơ nào khác.

9. Tóm tắt kiến thức và các điểm cần nhớ

• Hai vectơ cùng phương khi các thành phần tỉ lệ với nhau (hoặca=kb\vec{a} = k\vec{b},k0k \neq 0). Cẩn thận với thành phần bằng 0.
• Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0 (a1b1+a2b2+a3b3=0a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0).
• Cần vận dụng thành thạo điều kiện này trong hình học không gian Oxyz và mặt phẳng Oxy.
• Luôn kiểm tra trường hợp đặc biệt: vectơ không, tránh chia cho 0.
• Đây là kiến thức nền tảng cho giải tích không gian, chứng minh hình học và cả vật lý.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".