Điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về điều kiện hai vectơ cùng phương và vuông góc, vai trò trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, vectơ (hay còn gọi là vector) là một phần quan trọng của hình học giải tích không gian, giúp mô tả các đại lượng có hướng như vận tốc, lực,... Việc hiểu rõ điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc giúp học sinh giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến phương trình mặt phẳng, đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách,... Đây là kiến thức nền tảng để học tốt các chuyên đề tiếp theo và ứng dụng trong các bài thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về hai vectơ cùng phương và vuông góc

a) Hai vectơ cùng phương là gì?

Hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$ được gọi là cùng phương nếu tồn tại một số thực$k$sao cho$\vec{a} = k\vec{b}$(với$k \ne 0$khi cả hai vectơ đều khác vectơ không). Nói cách khác, hai vectơ cùng phương khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc các đường thẳng song song.

b) Hai vectơ vuông góc là gì?

Hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$ được gọi là vuông góc nếu$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, trong đó "$\cdot$" là phép nhân vô hướng (hay tích vô hướng) hai vectơ.

3. Giải thích điều kiện cùng phương và vuông góc – Công thức tổng quát và ví dụ minh họa

Giả sử:$\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$(theo tọa độ trong không gian Oxyz).

a) Điều kiện hai vectơ cùng phương

Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi:

$<br />\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}<br />$
(trong đó các mẫu số $b_1, b_2, b_3$ đều khác$0$)

Lưu ý: Nếu có mẫu bằng$0$, cần so sánh từng tỉ số tương ứng hoặc kiểm tra bằng tích có hướng.

Ví dụ 1:
Cho$\vec{a} = (2; 4; -6)$và $\vec{b} = (1; 2; -3)$.
Ta có:$\frac{2}{1} = 2$,$\frac{4}{2} = 2$,$\frac{-6}{-3} = 2$.
Vậy$\vec{a}$và $\vec{b}$cùng phương.

b) Điều kiện hai vectơ vuông góc

Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:
$<br />a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0<br />$

Ví dụ 2:
Cho$\vec{a} = (2; -1; 3)$và $\vec{b} = (1; 2; 1)$.
Ta tính:
$2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3 \ne 0$
Vậy$\vec{a}$và $\vec{b}$không vuông góc.
Nếu cho$\vec{b} = (1; 2; -1)$, thì:
$2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 2 - 2 - 3 = -3$
vẫn khác$0$, không vuông góc.
Nếu$\vec{b} = (1; 2; 0)$:
$2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$
Vậy hai vectơ vuông góc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu một trong hai vectơ là vectơ không, thì không xét khái niệm cùng phương hoặc vuông góc.
- Nếu một hoặc nhiều tọa độ của vectơ là 0, nên kiểm tra phương trình điều kiện cẩn thận (tránh chia cho 0).
- Đối với vectơ hai chiều (mặt phẳng), điều kiện cùng phương chỉ xét hai tỉ số; vuông góc vẫn theo công thức tích vô hướng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Điều kiện cùng phương, vuông góc của hai vectơ thường được sử dụng khi xét:

• Đường thẳng song song hoặc vuông góc với mặt phẳng.
• Mặt phẳng song song hoặc vuông góc với nhau.
• Tìm phương trình mặt phẳng/đường thẳng chứa một điểm, song song hoặc vuông góc với một vectơ cho trước.
• Ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật như xác định phương chuyển động, lực tác dụng,...

6. Bài tập mẫu vận dụng – Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{a} = (3; 6; -9)$,$\vec{b} = (1; 2; -3)$. Chứng minh hai vectơ này cùng phương.

Lời giải:
$\frac{3}{1} = 3$,$\frac{6}{2} = 3$,$\frac{-9}{-3} = 3$.
Vậy$\vec{a} = 3\vec{b}$, nên hai vectơ cùng phương.

Bài tập 2: Xét hai vectơ $\vec{a} = (2; 0; 3)$và $\vec{b} = (6; 0; 9)$. Hai vectơ này có cùng phương không?

Lời giải:$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,$\frac{0}{0}$(không xác định),$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Dễ thấy$\vec{a} = \frac{1}{3} \vec{b}$vì mọi thành phần đều tỉ lệ (kể cả thành phần bằng 0).
Kết luận: Cùng phương.

Bài tập 3: Cho$\vec{a} = (3; 1; -3)$và $\vec{b} = (1; 3; 1)$. Hai vectơ này có vuông góc với nhau không?

Tính tích vô hướng:
$3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-3) \cdot 1 = 3 + 3 - 3 = 3 \ne 0$.
Vậy không vuông góc.

Bài tập 4: Cho$\vec{a} = (2; 1; -1)$,$\vec{b} = (1; -2; 0)$. Chứng minh chúng vuông góc.

Tích vô hướng:$2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$.
Vậy hai vectơ vuông góc.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chia cho thành phần bằng 0 khi kiểm tra tỉ số cùng phương. Cần tránh, chuyển sang kiểm tra theo tích chéo.
• Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng. Cần dùng đúng định nghĩa tích vô hướng khi xét vuông góc.
• Quên lấy số nhân$k \neq 0$khi kiểm tra cùng phương (nếu là vectơ không thì không xét được cùng phương/ vuông góc).
• Kiểm tra nhầm dấu hoặc sai khi lấy tỉ số âm dương giữa các thành phần.

8. Tóm tắt kiến thức quan trọng cần nhớ

• Hai vectơ cùng phương ⇔ các thành phần của chúng tỉ lệ nhau hoặc$\vec{a} = k\vec{b}$với$k \neq 0$.
• Hai vectơ vuông góc ⇔ Tích vô hướng bằng 0:$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$.
• Cẩn thận khi có thành phần 0; không áp dụng khái niệm khi có vectơ không.
• Áp dụng linh hoạt trong giải hình học không gian: song song, vuông góc, tìm phương trình,...