Điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, việc nắm vững điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc là nền tảng quan trọng cho các bài toán về hình học phẳng, giải tích và các ứng dụng trong vật lý. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết các bài toán về góc giữa hai vectơ, phương trình đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và nhiều vấn đề thực tiễn khác.

2. Định nghĩa chính xác

Cho hai vectơ $a$và $b$trong mặt phẳng hoặc không gian. Ta có hai khái niệm:
• Hai vectơ cùng phương (collinear) nếu chúng song song hoặc ngược chiều nhau.
• Hai vectơ vuông góc (perpendicular) nếu góc giữa chúng bằng$90^\circ$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1 Điều kiện hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $a$và $b$cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực$\lambda$sao cho:$\u0001a = \lambda \u0001b.$

Trong tọa độ, nếu$\u0001a=(x_1,y_1)$và $\u0001b=(x_2,y_2)$, điều kiện tương đương là:$x_1y_2 - x_2y_1 = 0,$vì $\det\bigl([[x_1,y_1],[x_2,y_2]]\bigr)=0$.

Ví dụ 1: Cho$\u0001a=(2,4)$và $\u0001b=(1,2)$. Ta có $2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0$, do đó $\u0001a$và $\u0001b$cùng phương. Thực tế $\u0001a = 2\u0001b$.

3.2 Điều kiện hai vectơ vuông góc

Hai vectơ $\u0001a$và $\u0001b$vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:$\u0001a \cdot \u0001b = 0.$

Trong tọa độ, nếu$\u0001a=(x_1,y_1)$và $\u0001b=(x_2,y_2)$thì$\u0001a \cdot \u0001b = x_1x_2 + y_1y_2 = 0.$

Ví dụ 2: Cho$\u0001a=(3,-1)$và $\u0001b=(1,3)$. Ta tính$3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 3-3 = 0$, nên$\u0001a$vuông góc với$\u0001b$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Vectơ không (zero vector) $\u00010=(0,0)$ collinear với mọi vectơ theo định nghĩa $\u00010=0\cdot\u0001a$ , nhưng trong hầu hết nội dung, vectơ không không được coi là vuông góc  với chính nó mặc dù $\u00010\cdot\u0001a=0$ với mọi $\u0001a$ .
• Khi xét collinear trong không gian 3 chiều cho vectơ $\u0001a=(x_1,y_1,z_1)$ và $\u0001b=(x_2,y_2,z_2)$ , ta có thể dùng tích vectơ:

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Góc giữa hai vectơ:$\cos \theta = \frac{\u0001a \cdot \u0001b}{\|\u0001a\|\,\|\u0001b\|}.$Khi$\cos \theta=1$hoặc$-1$tức cùng phương, khi$\cos \theta=0$tức vuông góc.
• Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng: vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến dựa trên điều kiện collinear và perpendicular.
• Hình chiếu của một vectơ lên vectơ khác và phép phân tích vectơ thành thành phần song song và vuông góc.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho$\u0001a=(4,6)$và $\u0001b=(2,k)$. Tìm$k$để$\u0001a$cùng phương với$\u0001b$.

Giải: Điều kiện cùng phương:$4 \cdot k - 2 \cdot 6=0 \Rightarrow 4k -12=0 \Rightarrow k=3$.

Bài tập 2

Cho$\u0001a=(1,2,-1)$và $\u0001b=(2,-1,1)$. Kiểm tra xem hai vectơ có vuông góc không.

Giải: Tính tích vô hướng:$1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 =2 -2 -1=-1<br>eq0$. Vậy không vuông góc.

Bài tập 3

Cho điểm$A(1,2)$, đường thẳng$d:2x - y +1=0$. Hãy xác định vectơ $\u0001a$chỉ phương của$d$và chứng minh nó vuông góc với vectơ pháp tuyến của$d$.

Giải: Vectơ pháp tuyến$\u0001n=(2,-1)$. Một vectơ chỉ phương$\u0001a=(1,2)$thỏa mãn cùng phương với vectơ $(1,2)$sao cho$2/1=-1/2$? Thực ra vectơ chỉ phương có thể chọn là $\u0001a=(1,2)$nếu nó thỏa mãn perpendicular:$\u0001a \cdot \u0001n=1 \cdot 2 +2 \cdot (-1)=0$. Vậy$\u0001a$vuông góc với$\u0001n$và là vectơ chỉ phương của$d$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng (hoặc định thức 2×2).
• Quên xét trường hợp vectơ không khi xác định collinear hoặc perpendicular.
• Sai dấu trong tính toán tích vô hướng và định thức.
• Không kiểm tra đầy đủ điều kiện tồn tại tham số $\lambda$trong định nghĩa collinear.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hai vectơ cùng phương nếu$\u0001a = \lambda \u0001b$hoặc$\det([\u0001a,\u0001b])=0$trong mặt phẳng.
• Hai vectơ vuông góc nếu$\u0001a \cdot \u0001b=0$.
• Vectơ không có vai trò đặc biệt: collinear với mọi vectơ nhưng thường không xét vuông góc.
• Thực hành thường xuyên với bài tập để tránh nhầm lẫn giữa các phép tính.
• Ứng dụng rộng rãi trong hình học phẳng, đường thẳng, góc, phép chiếu và không gian 3D.