Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là một khái niệm quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 12, thuộc chuyên đề về thống kê. Độ lệch chuẩn giúp chúng ta đánh giá mức độ phân tán của các giá trị dữ liệu xung quanh giá trị trung bình, từ đó rút ra cái nhìn tổng quát về tính ổn định hay biến động của một tập hợp số liệu.

Việc tính toán độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm đặc biệt hữu ích khi dữ liệu được phân chia thành các lớp (nhóm), ví dụ như bảng tần số giá trị điểm thi, chiều cao, cân nặng,... Việc hiểu và tính đúng độ lệch chuẩn sẽ giúp ích cho học sinh khi làm bài tập, thi cử và ứng dụng trong thực tế cũng như nghiên cứu khoa học xã hội, kinh tế.

2. Định nghĩa độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Khi có một mẫu số liệu đã được phân nhóm thành các lớp (khoảng giá trị), độ lệch chuẩn của mẫu cho ta biết mức độ phân tán của các dữ liệu xung quanh giá trị trung bình mẫu.

Giả sử số liệu ghép nhóm được cho dưới dạng bảng:

| Lớp (khoảng) | Tần số (fi) | Trung bình lớp (xi) |
|--------------|------------|---------------------|
| [a1, b1) | f1 | x1 |
| [a2, b2) | f2 | x2 |
| ... | ... | ... |
| [ak, bk) | fk | xk |

Trong đó: $x_i$là giá trị trung bình của lớp thứ $i$(được tính bằng$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$), $f_i$là tần số lớp thứ $i$, $n = \sum_{i=1}^{k} f_i$ là tổng số quan sát.

Độ lệch chuẩn mẫu (ký hiệu$s$) được xác định bằng công thức:

$s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \overline{x})^2}$

Trong đó $\overline{x}$là giá trị trung bình mẫu tính theo:

$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i x_i$

3. Phân tích các bước tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (có ví dụ minh họa)

Chúng ta cùng thực hành tính toán qua ví dụ sau:

Bảng phân bố điểm kiểm tra của 30 học sinh như sau:

| Lớp (Điểm) | Tần số |
|------------|--------|
| [4;6) | 3 |
| [6;8) | 12 |
| [8;10] | 15 |

Bước 1: Tính giá trị trung bình từng lớp ($x_i$)

• Lớp [4;6):$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$
• Lớp [6;8):$x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$
• Lớp [8;10]:$x_3 = \frac{8 + 10}{2} = 9$

Bước 2: Tính giá trị trung bình mẫu ($\overline{x}$)

$\overline{x} = \frac{3 \times 5 + 12 \times 7 + 15 \times 9}{3 + 12 + 15} = \frac{15 + 84 + 135}{30} = \frac{234}{30} = 7,8$

Bước 3: Tính$(x_i - \overline{x})^2$cho từng lớp

• Lớp 1:$(5 - 7,8)^2 = (-2,8)^2 = 7,84$
• Lớp 2:$(7 - 7,8)^2 = (-0,8)^2 = 0,64$
• Lớp 3:$(9 - 7,8)^2 = 1,2^2 = 1,44$

Bước 4: Tính$f_i (x_i - \overline{x})^2$cho từng lớp và tổng lại

• Lớp 1:$3 \times 7,84 = 23,52$
• Lớp 2:$12 \times 0,64 = 7,68$
• Lớp 3:$15 \times 1,44 = 21,6$
Tổng:$23,52 + 7,68 + 21,6 = 52,8$

Bước 5: Tính độ lệch chuẩn mẫu

$s = \sqrt{\frac{52,8}{30-1}} = \sqrt{\frac{52,8}{29}} \approx \sqrt{1,8207} \approx 1,349$

Vậy độ lệch chuẩn mẫu của bảng số liệu trên xấp xỉ $1,35$ điểm.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi bảng số liệu có chỉ một nhóm (một lớp): Độ lệch chuẩn bằng 0 vì mọi giá trị đều trùng với trung bình.
- Phải chú ý lấy đúng giá trị trung điểm nếu khoảng là dạng mở (ví dụ: “≥10” hoặc “<4”), khi đó cần dùng giả định hoặc ghi chú đề bài.
- Nếu tính cho toàn bộ tổng thể (không phải mẫu), mẫu số trong công thức sẽ là $n$thay vì $n-1$

- Không được quên căn bậc hai kết quả cuối cùng. Giá trị dưới dấu căn là phương sai, căn lên mới là độ lệch chuẩn.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Độ lệch chuẩn ($s$) là căn bậc hai của phương sai mẫu ($s^2$).
- Giá trị trung bình mẫu ($\overline{x}$) là giá trị đặc trưng trung tâm, còn độ lệch chuẩn đo mức độ “chệch” khỏi trung tâm đó.
- Độ lệch chuẩn liên quan mật thiết đến tần số, lớp dữ liệu, tổng số quan sát và tính tổ chức dữ liệu (ghép nhóm hay số liệu gốc lẻ tẻ).

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Dưới đây là bảng chiều cao (đơn vị: cm) của 40 học sinh.

| Lớp | Số HS |
|-----|-------|
| [150;155) | 5 |
| [155;160) | 10 |
| [160;165) | 15 |
| [165;170] | 10 |

Giải

Tính trung điểm từng lớp:
•$x_1 = 152,5$;x_2 = 157,5;x_3 = 162,5;$x_4 = 167,5$

Tính trung bình mẫu:
$\overline{x} = \frac{5 \times 152,5 + 10 \times 157,5 + 15 \times 162,5 + 10 \times 167,5}{40} = \frac{762,5 + 1575 + 2437,5 + 1675}{40} = \frac{6450}{40} = 161,25$

Tính$f_i(x_i-\overline{x})^2$từng lớp:
•$5 \times (152,5-161,25)^2 = 5 \times 76,5625 = 382,8125$
•$10 \times (157,5-161,25)^2 = 10 \times 14,0625 = 140,625$
•$15 \times (162,5-161,25)^2 = 15 \times 1,5625 = 23,4375$
•$10 \times (167,5-161,25)^2 = 10 \times 39,0625 = 390,625$
Tổng:$382,8125 + 140,625 + 23,4375 + 390,625 = 937,5$

Tính độ lệch chuẩn:
$s = \sqrt{\frac{937,5}{40-1}} = \sqrt{\frac{937,5}{39}} \approx \sqrt{24,038} \approx 4,90 (cm)$

Bài 2: Một lớp 36 học sinh, bảng tần số số lượng sách đọc mỗi tháng:

| Lớp (quyển/tháng) | Tần số |
|-------------------|--------|
| [0;3) | 4 |
| [3;7) | 18 |
| [7;10] | 14 |

Giải

Tính trung điểm từng lớp:
$x_1 = 1,5$,$x_2 = 5$,$x_3 = 8,5$

Tính trung bình mẫu:
$\overline{x} = \frac{4 \times 1,5 + 18 \times 5 + 14 \times 8,5}{36} = \frac{6 + 90 + 119}{36}= \frac{215}{36} \approx 5,97$

$(x_1 - \overline{x})^2 = (1,5 - 5,97)^2 = 19,9729$
$(x_2 - \overline{x})^2 = (5 - 5,97)^2 = 0,9409$
$(x_3 - \overline{x})^2 = (8,5 - 5,97)^2 = 6,4009$

$4 \times 19,9729 = 79,8916$
$18 \times 0,9409 = 16,9362$
$14 \times 6,4009 = 89,6126$
Tổng:$79,8916 + 16,9362 + 89,6126 = 186,4404$

$s = \sqrt{\frac{186,44}{36-1}} = \sqrt{\frac{186,44}{35}} \approx \sqrt{5,327} \approx 2,31 (quyển)$

7. Các lỗi thường gặp và lưu ý để tránh sai sót

- Nhầm lẫn giữa các trung điểm lớp (phải tính chính xác theo$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$).
- Quên tính giá trị trung bình mẫu trước khi tính hiệu bình phương.
- Dùng mẫu số $n$thay vì $n-1$khi đề bài yêu cầu tính “độ lệch chuẩn mẫu”.
- Sau khi hoàn thành phép tính, nên lưu ý kiểm tra lại kết quả.
- Không làm tròn quá sớm ở bước giữa bài (giữ tối đa chữ số thập phân đến bước cuối cùng).

8. Tóm tắt và điểm cần ghi nhớ

• Độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình mẫu.
• Luôn sử dụng trung điểm lớp ($x_i$) khi làm với số liệu ghép nhóm.
• Phân biệt khi dùng công thức cho mẫu ($n-1$) hay tổng thể ($n$).
• Các bước tính: Trung bình lớp → Trung bình mẫu → Hiệu bình phương → Tích với tần số → Tổng → Chia ($n-1$) → Căn bậc hai.
• Luôn kiểm tra lại các bước và giữ số thập phân ở bước cuối.

Việc hiểu rõ và thành thạo các bước tính độ lệch chuẩn mẫu của số liệu ghép nhóm là kỹ năng rất cần thiết, không chỉ cho học tập mà còn cho các ứng dụng phân tích số liệu trong thực tế.