Chiến lược giải quyết bài toán So sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu loại bài toán và ý nghĩa

Trong chương trình toán lớp 12, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là dạng toán quen thuộc và rất quan trọng trong cả kỳ thi tốt nghiệp cũng như ôn luyện thi Đại học. Một biến thể đặc biệt là bài toán yêu cầu so sánh kết quả tìm GTLN, GTNN giữa hai phương pháp: sử dụng máy tính cầm tay và sử dụng đạo hàm. Điều này giúp học sinh hiểu rõ bản chất bài toán, vận dụng linh hoạt các phương pháp, đồng thời phát hiện ưu/nhược điểm của từng phương án giải.

2. Đặc điểm của bài toán So sánh GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm

- Có hai cách giải thường được yêu cầu thực hiện song song: giải bằng đạo hàm truyền thống (lý thuyết) và giải nhanh bằng máy tính Casio/VnCalculator.

- Đề bài thường yêu cầu: hãy tìm GTLN/GTNN của hàm số, sau đó so sánh, giải thích sự khác biệt (nếu có), hoặc chỉ ra trường hợp máy tính không tìm ra đúng kết quả phương pháp đạo hàm đã tìm.

- Các hàm số thường là bậc hai, bậc ba hoặc các hàm phân thức, căn thức có điều kiện xác định rõ ràng.

- Đôi khi máy tính trả kết quả làm tròn, sai lệch hoặc bỏ sót nghiệm biên, nghiệm đặc biệt do giới hạn thao tác hoặc nhập sai bảng giá trị.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán

• a. Đọc kỹ đề, xác định hàm số cần xét, tập xác định, yêu cầu bài toán (tìm GTLN, GTNN trên đoạn, khoảng hoặc tập xác định đặc biệt).
• b. Thực hiện giải bằng hai phương pháp:
• – Phương pháp đạo hàm: tìm cực trị, so sánh cả tại cực trị và tại biên/tập xác định.
• – Phương pháp máy tính: sử dụng chức năng Table (TABLE), hoặc Calc để tra bảng giá trị.
• c. So sánh hai đáp số, giải thích lý do nếu có chênh lệch (về biên, nghiệm lẻ, miền xác định hoặc làm tròn số).
• d. Kết luận đáp án, chọn đáp án đúng nhất hoặc trình bày nhận xét về hai phương pháp.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a, b]:

Cho hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 3$trên đoạn$[1; 5]$. Hãy tìm GTLN, GTNN của$f(x)$trên đoạn và so sánh kết quả bằng đạo hàm với máy tính Casio.

Bước 1: Xét tập xác định, tìm nghiệm đạo hàm:

Ta có $f(x) = x^2 - 4x + 3$xác định trên$orall x \in \mathbb{R}$.

Tính đạo hàm:$f'(x) = 2x - 4$.

Giải$f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Bước 2: So sánh các giá trị tại điểm biên và nghiệm đạo hàm:

• Tính$f(1) = 1^2 - 4*1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$
• Tính$f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
• Tính$f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$.

Do đó:

• - GTLN là $f(5) = 8$.
• - GTNN là $f(2) = -1$.

Bước 3: Dùng máy tính Casio để kiểm tra:

- Đặt MODE 7 (TABLE), nhập$x^2 - 4x + 3$, rồi nhập bắt đầu từ 1 đến 5, bước nhảy 1.

- Sau khi bấm, đọc được giá trị:

• Tại$x=1 \to f(1)=0$; tại$x=2 \to f(2) = -1$; tại$x=3 \to f(3) = 0$; tại$x=4 \to f(4)=3$; tại$x=5 \to f(5)=8$.

Máy tính cũng xác định đúng GTLN là 8 tại$x=5$, GTNN là -1 tại$x=2$giống kết quả đạo hàm.

Bước 4: So sánh và phân tích:

- Kết quả GTLN và GTNN bằng cả hai cách, không có sai lệch.

- Lý do bài toán dễ vì hàm số đơn giản, nghiệm cực trị và đầu mút đều thuộc tập xác định.

5. Các công thức, kỹ thuật cốt lõi cần nhớ

• Công thức xét GTLN, GTNN trên đoạn [a; b] với hàm số liên tục$f(x)$:
• + Tìm các nghiệm của$f'(x) = 0$(các điểm cực trị thuộc đoạn).
• + So sánh các giá trị $f(a)$,$f(b)$và $f(x_0)$với nghiệm$x_0$vừa tìm.
• Công thức đạo hàm bậc nhất: Nếu$f(x) = ax^2 + bx + c$thì $f'(x) = 2ax + b$.
• Khi dùng máy tính Casio, với MODE TABLE, nhập đúng hàm số và điều kiện xác định; bước nhảy càng nhỏ càng gần đáp án chính xác thực tế.

6. Biến thể và điều chỉnh chiến lược

• - Hàm số có nhiều khoảng xác định: Cần xác định đúng từng miền, đôi khi máy tính chỉ xét trên một miền hoặc bỏ sót nghiệm biên.
• - Hàm số có căn thức, phân thức: Để tâm đến điểm không thuộc tập xác định, máy tính có thể cho kết quả lỗi.
• - Hàm số có nghiệm lẻ hoặc nghiệm bằng phân số lạ: Máy tính sai số làm tròn, nên lấy thêm nhiều giá trị gần nghiệm nghi vấn.
• - Khi đáp số của máy tính và đạo hàm khác nhau: Xem xét lại tập xác định, điểm biên, hoặc kiểm tra cẩn thận đầu vào bảng giá trị.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$trên$[2; 5]$bằng hai phương pháp, so sánh kết quả.

Giải:

• Tập xác định:$x \ne 1$, trên$[2;5]$thì mọi giá trị đều hợp lệ.
• Tính đạo hàm:
• $f(x) = \frac{2x+1}{x-1} \Rightarrow f'(x)= \frac{(2)(x-1)-(2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
• $f'(x)$luôn âm với$x >1$, hàm nghịch biến trên$[2;5]$.
• Do đó: GTLN tại$x=2$, GTNN tại$x=5$.
• $f(2) = \frac{2*2+1}{2-1} = \frac{5}{1} = 5$
• $f(5) = \frac{2*5+1}{5-1} = \frac{11}{4} = 2.75$
• Kết luận: GTLN là 5 (tại$x=2$); GTNN là 2.75 (tại$x=5$).

Kiểm tra với máy tính cầm tay:

• - Nhập vào Mode Table, hàm$y=\frac{2x+1}{x-1}$, bước nhảy 0.1 hoặc 1, kiểm tra:
• - Đọc giá trị tại$x=2$là 5, tại$x=5$là 2.75.
• - Như vậy kết quả máy tính hoàn toàn khớp đạo hàm.

8. Bài tập thực hành

• 1. Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = -x^2 + 4x - 1$trên$[0; 5]$bằng hai phương pháp. So sánh và giải thích.
• 2. Cho $f(x) = \sqrt{9-x^2}$với$x \in [0;3]$. Thực hiện hai cách tìm GTLN, GTNN và so sánh.
• 3. Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = \frac{x}{x+2}$trên đoạn$[0; 6]$. Chỉ ra các trường hợp máy tính có thể gặp sai lệch nếu bước nhảy không hợp lý.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• – Kiểm tra kỹ tập xác định, điều kiện hàm số khi dùng máy tính, tránh nhập giá trị gây lỗi chia cho 0 hoặc căn âm.
• – Khi đáp số máy tính khác lý thuyết, thử chia nhỏ bước nhảy, hoặc kiểm tra giá trị tại đầu mút, nghiệm lẻ.
• – Luôn so sánh giá trị tại cực trị (nghiệm đạo hàm), đầu đoạn, cuối đoạn và các điểm đặc biệt khi dùng cả hai phương pháp.
• – Đối với hàm số có tính chất đối xứng hoặc giá trị đặc biệt, nên dự đoán trước dạng GTLN, GTNN để kiểm nghiệm nhanh kết quả.
• – Nếu hàm số biến thiên liên tục và lý thuyết cho nghiệm lẻ, cần lấy nhiều giá trị gần vùng nghi vấn để đảm bảo không bỏ sót GTLN, GTNN khi dùng máy tính.

Hy vọng với chiến lược và các ví dụ minh hoạ trên, các em sẽ tự tin làm chủ bài toán so sánh GTLN, GTNN giữa máy tính và đạo hàm, đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra và thi tốt nghiệp!