Giải thích chi tiết: Bài tập cuối chương II Toán lớp 12

1. Giới thiệu về "Bài tập cuối chương II" và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, mỗi chương học đều kết thúc bằng phần "Bài tập cuối chương" nhằm giúp học sinh hệ thống, củng cố và vận dụng toàn bộ kiến thức vừa học. "Bài tập cuối chương II" thường tập trung vào những nội dung trọng tâm đã học ở chương II, là bước đệm quan trọng để chuẩn bị cho các kỳ kiểm tra, thi THPT Quốc gia cũng như luyện kỹ năng giải toán chuyên sâu.

2. Định nghĩa chính xác về "Bài tập cuối chương II"

“Bài tập cuối chương II” là tập hợp các dạng bài tập tổng hợp, trải dài toàn bộ nội dung chương II, thường bao gồm các câu hỏi lý thuyết, thực hành tính toán, vận dụng cao, kiểm tra khả năng tổng hợp kiến thức và phương pháp giải toán của học sinh.

3. Hướng dẫn giải từng bước với ví dụ minh hoạ

Dưới đây, chúng ta sẽ lấy ví dụ về chương II – Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit (theo chương trình cơ bản lớp 12).

Ví dụ 1: Giải phương trình mũ

Giải phương trình:$2^{x+1} = 16$.

Bước 1: Biến đổi về cùng cơ số.

Ta có:$16 = 2^4$, nên phương trình trở thành:$2^{x+1} = 2^4$

Bước 2: So sánh số mũ (vì $a^m = a^n \Leftrightarrow m = n$, với$a \neq 0, a \neq 1$):$x+1=4 \Rightarrow x=3$.

Đáp số:$x=3$

Ví dụ 2: Giải phương trình logarit

Giải phương trình:$\log_2(x-1) = 3$

Bước 1: Đưa về dạng cơ bản của logarit.

Ta có:$\log_2(x-1)=3 \Rightarrow x-1=2^3=8$

Bước 2: Giải tìm$x$.
$x-1=8 \Rightarrow x=9$

Đáp số:$x=9$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Khi giải các phương trình mũ, logarit, các lưu ý quan trọng là:

• Kiểm tra điều kiện xác định của ẩn số (ví dụ:$a^x$luôn xác định với$a>0, a \neq 1$;$\log_a b$xác định khi$a>0, a \neq 1, b>0$)
• Đối với logarit: chỉ có nghĩa khi biểu thức trong log dương.
• Khi phương trình có nhiều logarit hoặc mũ cần lưu ý quy tắc logarit, công thức biến đổi.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kiến thức giải mũ, logarit có liên hệ chặt chẽ với hàm số, bất phương trình, giải tích, đạo hàm và ứng dụng trong thực tế (tính lãi suất, tăng trưởng, phân rã phóng xạ…). Bên cạnh đó, kỹ năng biến đổi phương trình, bất phương trình sẽ hỗ trợ rất nhiều khi giải các bài toán khác trong các chương tiếp theo.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải phương trình$3^{2x-1} = 27$.

Giải:
$27=3^3 \implies 3^{2x-1}=3^3 \implies 2x-1=3 \implies 2x=4 \implies x=2$.

Đáp số:$x=2$

Bài tập 2: Tìm$x$biết:$\log_5(x^2-4x+4) = 2$

Giải:
$\log_5(x^2-4x+4) = 2 \Rightarrow x^2-4x+4 = 25 \implies x^2-4x-21=0$
$\iff (x-7)(x+3)=0 \implies x=7$hoặc$x=-3$.
Nhưng phải kiểm tra điều kiện xác định:$x^2-4x+4>0$với mọi$x \neq 2$, cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Đáp số:$x=-3$,$x=7$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không kiểm tra điều kiện xác định, dẫn tới nhận nghiệm không hợp lệ.
• Nhầm lẫn giữa tính chất mũ và logarit (ví dụ:$a^x + a^y \neq a^{x+y}$, chỉ đúng với$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$).
• Thiếu bước biến đổi đưa về cùng cơ số hoặc cùng biểu thức logarit.
• Không kiểm tra lại nghiệm với điều kiện của đề bài.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• “Bài tập cuối chương II” là phần tổng hợp kiến thức, giúp chuẩn hoá kỹ năng giải toán về hàm số mũ, lũy thừa và logarit.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của ẩn số trước khi giải.
• Vận dụng công thức và tính chất logarit/mũ đúng đắn, không nhầm lẫn giữa các phép toán.
• Sau khi giải xong, kiểm tra lại nghiệm có phù hợp với điều kiện không.

Việc thành thạo các dạng “Bài tập cuối chương II” sẽ giúp các em tự tin trong ôn tập, kiểm tra, luyện thi THPT Quốc gia và vận dụng linh hoạt các kiến thức toán học vào thực tiễn.