Giải thích chi tiết công thức xác suất toàn phần – Toán 12

1. Giới thiệu về công thức xác suất toàn phần và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề xác suất đóng vai trò quan trọng, không chỉ trong các kỳ thi mà còn trong việc phát triển tư duy logic và khả năng ứng dụng thực tiễn. Một trong những nội dung cơ bản và cốt lõi của chương này là “Công thức xác suất toàn phần”. Đây là công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt khi sự kiện cần xét có thể xảy ra thông qua nhiều trường hợp khác nhau.

2. Định nghĩa công thức xác suất toàn phần

Cho biến cố $B$có thể phân hoạch thành các biến cố $A_1, A_2, \ldots, A_n$sao cho:

• Các biến cố $A_1, A_2, \ldots, A_n$ đôi một xung khắc (tức$A_i \cap A_j = \varnothing$với mọi$i \neq j$).
• Toàn bộ không gian mẫu:$A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$với xác suất$P(A_i) > 0$với mọi$i$.

Công thức xác suất toàn phần phát biểu: Nếu$B$là một biến cố, khi đó:

$<br />P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B\mid A_i)<br />$

Trong đó:

• $P(B)$là xác suất của biến cố $B$.
• $P(A_i)$là xác suất biến cố $A_i$.
• $P(B\mid A_i)$là xác suất có điều kiện của$B$khi biết$A_i$xảy ra.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét ví dụ: Một trường có 60% học sinh ban A và 40% học sinh ban B. Tỉ lệ học sinh ban A đạt điểm giỏi môn Toán là 30%, còn ban B là 10%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, xác suất để học sinh đó đạt điểm giỏi môn Toán là bao nhiêu?

Gọi:

• $A$: Học sinh thuộc ban A ($P(A) = 0.6$)
• $B$: Học sinh thuộc ban B ($P(B) = 0.4$)
• $G$: Học sinh đạt điểm giỏi Toán

Xác suất để học sinh được chọn đạt điểm giỏi Toán là:

$<br />P(G) = P(A) \cdot P(G \mid A) + P(B) \cdot P(G \mid B) = 0.6 \times 0.3 + 0.4 \times 0.1 = 0.18 + 0.04 = 0.22<br />$

Vậy xác suất là $0.22$(hay 22%).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Các biến cố phân hoạch phải đôi một xung khắc và tạo thành một phân hoạch cho không gian mẫu. Nếu không đúng, không được áp dụng công thức.
• Các xác suất$P(A_i)$phải lớn hơn 0, vì xác suất có điều kiện$P(B \mid A_i)$không xác định khi$P(A_i) = 0$.
• Không áp dụng được khi các trường hợp không đủ độc lập/xung khắc hoặc không bao phủ toàn bộ không gian mẫu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Công thức xác suất toàn phần có liên hệ mật thiết với:

• Xác suất có điều kiện:$P(B \mid A)$
• Công thức Bayes (với công thức Bayes, ta dùng công thức xác suất toàn phần cho mẫu số): $P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B | A_j)}$

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1

Một hộp có 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một bi thứ nhất, sau đó chọn tiếp một bi thứ hai. Tìm xác suất để bi thứ hai là bi đỏ.

Gợi ý: Xét phân hoạch theo màu bi đầu tiên được rút.

Gọi:
-$A_1$: Lần đầu lấy bi đỏ ($P(A_1)=\frac{2}{5}$)
-$A_2$: Lần đầu lấy bi xanh ($P(A_2)=\frac{3}{5}$)
Biến cố $B$: Lấy bi thứ hai là đỏ.

Ta có:

$<br />P(B) = P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)<br />$

Sau khi lấy bi đỏ ở lượt đầu: Còn 1 đỏ, 3 xanh$<br /> \Rightarrow P(B\mid A_1)=\frac{1}{4}$
Sau khi lấy bi xanh ở lượt đầu: Còn 2 đỏ, 2 xanh$<br /> \Rightarrow P(B\mid A_2)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$<br />P(B)=\frac{2}{5} \times \frac{1}{4}+\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{2}{20}+\frac{3}{10}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{4}{10}=0.4<br />$

Đáp số:$0.4$(hay 40%).

Bài 2

Có hai tổ sản xuất. Tổ một làm ra 60% tổng số sản phẩm, tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn là 95%. Tổ hai làm ra 40% và tỉ lệ đạt chuẩn là 90%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất sản phẩm đó đạt chuẩn?

Gọi$A_1$: Sản phẩm của tổ một ($P(A_1) = 0.6$)
Gọi$A_2$: Sản phẩm của tổ hai ($P(A_2) = 0.4$)
Biến cố $B$: Sản phẩm đạt chuẩn.

$<br />P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)=0.6 \times 0.95+0.4 \times 0.9=0.57+0.36=0.93<br />$

Vậy xác suất lấy được sản phẩm đạt chuẩn là $0.93$(hay 93%).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chưa phân biệt rõ các trường hợp phân hoạch nên dẫn đến thiếu hoặc trùng lặp xác suất.
• Không chú ý $P(A_i) > 0$. Nếu$P(A_i) = 0$thì $P(B\mid A_i)$không xác định, phải loại bỏ trường hợp đó.
• Nhầm lẫn giữa xác suất$P(B)$và xác suất có điều kiện$P(B \mid A_i)$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần được dùng để tính xác suất của một biến cố có thể xảy ra qua nhiều trường hợp phân biệt.
• Điều kiện để áp dụng: các trường hợp phân hoạch phải đôi một xung khắc và bao phủ không gian mẫu.
• Phải xác định đúng xác suất có điều kiện$P(B \mid A_i)$.
• Công thức xác suất toàn phần thường được sử dụng phối hợp với công thức Bayes.

Học tốt bài này sẽ giúp học sinh không chỉ giải thành thạo các bài toán xác suất mà còn rèn luyện được tư duy phân tích, suy luận lôgic – những phẩm chất quan trọng trong học tập và cuộc sống.